Infinitesimi in fisica

[frabi]

Buonasera,
affrontando l'esame di fisica II, mi sono trovato a dover dimostrare la relazione tra energia e quantità di moto di un'onda elettromagnetica.
Sinceramente non so neanche io perchè, ma a un certo punto, anzichè la ben nota
F=dP/dt (legge di Newton)
ho scritto
dF=dP/dt
probabilmente, inconsapevolmente, in riferimento al fatto che una singola onda elettromagnetica comunica in ogni caso una forza infinitesima.
Il mio professore ha corretto molto severamente l'errore adducendo come motivazione il fatto che una quantità è finita e l'altra è infinitesima, e che l'errore è dunque inammissibile.
A mio giudizio, il discorso sarebbe da approfondire: non potrei vedere dF come un infinitesimo di ordine inferiore a dP? Matematicamente infinito o infinitesimo sono sempre due concetti relativi e non assoluti, così li abbiamo sempre trattati in analisi I. Inoltre penso che la definizione di infinitesimo sia tutt'altro che banale a livello rigoroso.
Infine l'abuso di notazione di sicuro non facilita il discorso e senza volermi giustificare, non riesco a spiegarmi come l'errore sia stato così grave, quando in generale in fisica e in tutto il corso si è fatto un uso abbastanza libero del concetto (semplificando con molta libertà i "de" ad esempio)
Qualcuno saperebbe illuminarmi?
Magari anche più in generale su questa ''annosa questione'' della notazione e degli infinitesimi e delle derivate in fisica.
Ringrazio in anticipo

P.s. ho postato un messaggio uguale anche nella sezione fisica, vorrei avere un parere di fisici e matematici, per capire i due punti di vista sul problema. Non voglio in alcun modo otturare il forum.

[dissonance]

Il professore ha ragione. Invece di tante parole, prova a produrre un esempio concreto. Prendi un campo di forze e scrivi l'equazione che tu suggerisci, vedrai come trovi una cosa priva di senso.

[Weierstress]

Gli infinitesimi sono lo scheletro nell'armadio dei corsi di fisica generale. E' una questione spinosa, che personalmente non pretendo di poter spiegare in modo esaustivo. Comunque la cosa da tener presente è che il concetto di infinitesimo in analisi ha un'accezione completamente diversa, che sicuramente conosci (funzione che tende a zero nel passaggio ad un certo limite).

L'infinitesimo dei fisici non esiste in analisi, perché si dimostra che \[\displaystyle |x|<\epsilon \quad \forall \epsilon>0 \quad \Rightarrow \quad x=0 \] Inoltre il genere di semplificazioni di cui parli in analisi non ha alcun senso, in quanto \[\displaystyle \frac{\text{d}f}{\text{d}x}=f'(x):=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \] e quindi come vedi non c'è niente da "semplificare".

Esiste tuttavia una formulazione alternativa nella cosiddetta analisi non standard che formalizza il concetto di infinitesimo e lo rende rigoroso. Siccome non ne so praticamente niente però, evito di parlartene.

[axpgn]

@Weierstress

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.

Belli gli iperreali

Cordialmente, Alex

[anto_zoolander]

@weierstrass

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

ma per dimostrare quella cosa non basta supporre per assurdo che $x ne0$ allora $0<|x/2|<|x|$? O comunque usare la completezza per infilarci la incmezzo qualcosa.

[frabi]

Gli infinitesimi sono lo scheletro nell'armadio dei corsi di fisica generale. E' una questione spinosa, che personalmente non pretendo di poter spiegare in modo esaustivo. Comunque la cosa da tener presente è che il concetto di infinitesimo in analisi ha un'accezione completamente diversa, che sicuramente conosci (funzione che tende a zero nel passaggio ad un certo limite).

L'infinitesimo dei fisici non esiste in analisi, perché si dimostra che \[\displaystyle |x|<\epsilon \quad \forall \epsilon>0 \quad \Rightarrow \quad x=0 \] Inoltre il genere di semplificazioni di cui parli in analisi non ha alcun senso, in quanto \[\displaystyle \frac{\text{d}f}{\text{d}x}=f'(x):=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \] e quindi come vedi non c'è niente da "semplificare".

Esiste tuttavia una formulazione alternativa nella cosiddetta analisi non standard che formalizza il concetto di infinitesimo e lo rende rigoroso. Siccome non ne so praticamente niente però, evito di parlartene.

Grazie mille, ora riesco a capire meglio, anche io ho sentito parlare di formalismi che fondano matematicamente il concetto, ma non si accenna mai e rimane tutto un po' vago

Il professore ha ragione. Invece di tante parole, prova a produrre un esempio concreto. Prendi un campo di forze e scrivi l'equazione che tu suggerisci, vedrai come trovi una cosa priva di senso.

Il tuo punto di vista non è costruttivo. Se chiedo un chiarimento, è evidente che ho delle incertezze, se tu rispondi dovresti aiutare a superarle. Potresti giustificare meglio ciò che hai detto, magari producendo tu un esempio?
In più una volta appurato perchè fisicamente l'espressione è priva di senso, nella domanda io ti chiedo perchè è priva di senso matematicamente, che è ciò che mi è stato detto.

[Fioravante Patrone]

...

Il professore ha ragione. Invece di tante parole, prova a produrre un esempio concreto. Prendi un campo di forze e scrivi l'equazione che tu suggerisci, vedrai come trovi una cosa priva di senso.

Il tuo punto di vista non è costruttivo. Se chiedo un chiarimento, e evidente che ho delle incertezze, se tu rispondi dovresti aiutare a superarle. Potresti giustificare meglio ciò che hai detto, magari producendo tu un esempio?

Non mi interessa il tema specifico di questo post (anche se la scimmia rossiccia si sta agitando), ma condivido completamente e sentitamente il commento di dissonance. Se uno non impara a farsi lui da solo gli esempi e i controesempi non imparerà mai. Sarà un pelino faticoso all'inizio, ma poi darà grandi soddisfazioni. Su, un piccolo sforzo!

[dissonance]

Grazie Fioravante, ne approfitto per salutarti, fa sempre piacere ritrovarti e rileggerti.

@frabi: prova a considerare l'esempio più semplice, il campo gravitazionale \(\mathbf F = m\mathbf g\), dove \(\mathbf g\) è un vettore costante. Supponendo che sia \(d\mathbf F = \frac{d\mathbf p}{dt}\), che equazioni del moto si otterrebbero?

NOTA A MARGINE:
I miei commenti sullo stile di quello del mio post precedente sono delle esortazioni a tacere e calcolare, nel senso di questo bellissimo consiglio a chi inizia con la matematica, che condivido appieno.

[frabi]

Grazie Fioravante, ne approfitto per salutarti, fa sempre piacere ritrovarti e rileggerti.



@frabi: prova a considerare l'esempio più semplice, il campo gravitazionale \(\mathbf F = m\mathbf g\), dove \(\mathbf g\) è un vettore costante. Supponendo che sia \(d\mathbf F = \frac{d\mathbf p}{dt}\), che equazioni del moto si otterrebbero?

NOTA A MARGINE:
I miei commenti sullo stile di quello del mio post precedente sono delle esortazioni a tacere e calcolare, nel senso di questo bellissimo consiglio a chi inizia con la matematica, che condivido appieno.

Ti ringrazio di avermi fornito un punto di partenza, probabilmente il mio errore è stato scrivere dF pensando a una quantità piccola, come a volte si scrive dm o dq, penso che però sia un problema legato più alla notazione che al significato. Approfondirò.

[killing_buddha]

Il mio professore ha corretto molto severamente l'errore adducendo come motivazione il fatto che una quantità è finita e l'altra è infinitesima

In analisi non standard una scrittura come \(\frac{dF}{dt}\) si interpreta come una frazione a patto che \(F\) sia una funzione di \(t\) e che \(dF\) venga inteso come \(F(t+dt)-F(t)\) per lo stesso incremento \(dt\in {}^*\mathbb R\) per cui si sta dividendo. (Sto scegliendo un ultrafiltro rispetto al quale si può costruire un ampliamento non standard di \(\mathbb N\), e quindi dei sistemi numerici derivati.) Questa è parte della "definizione" di derivata non standard; ma ora il rapporto tra queste due quantità è finito perché, per definizione \(\frac{dF}{dt}\) è la parte standard del rapporto \(\frac{F(t+dt)-F(t)}{dt}\).

Inoltre penso che la definizione di infinitesimo sia tutt'altro che banale a livello rigoroso.

Questo è verissimo; sebbene mi unisca al coro degli altri dicendoti che dovresti "tacere e calcolare", ti invito comunque a restare informato rispetto all'argomento e a non fidarti di chi cerca di ridurre l'analisi non standard ad un insieme di teoremi che arrivano "poco più in là" dell'analisi classica. Ai miei occhi è un modo molto convincente di formalizzare i passaggi al limite semi-magici che fanno i fisici, e il loro uso sportivo della notazione frazionaria per le derivate. Ti consiglio anche di familiarizzare con la geometria differenziale sintetica, che si può riassumere come "ciò che succede quando con quell'analisi tenti di fare geometria".