killing_buddha ha scritto:Il mio professore ha corretto molto severamente l'errore adducendo come motivazione il fatto che una quantità è finita e l'altra è infinitesima
In analisi non standard una scrittura come \(\frac{dF}{dt}\) si interpreta come una frazione a patto che \(F\) sia una funzione di \(t\) e che \(dF\) venga inteso come \(F(t+dt)-F(t)\) per lo stesso incremento \(dt\in {}^*\mathbb R\) per cui si sta dividendo. (Sto scegliendo un ultrafiltro rispetto al quale si può costruire un ampliamento non standard di \(\mathbb N\), e quindi dei sistemi numerici derivati.) Questa è parte della "definizione" di derivata non standard; ma ora il rapporto tra queste due quantità è finito perché, per definizione \(\frac{dF}{dt}\) è la parte standard del rapporto \(\frac{F(t+dt)-F(t)}{dt}\).Inoltre penso che la definizione di infinitesimo sia tutt'altro che banale a livello rigoroso.
Questo è verissimo; sebbene mi unisca al coro degli altri dicendoti che dovresti "tacere e calcolare", ti invito comunque a restare informato rispetto all'argomento e a non fidarti di chi cerca di ridurre l'analisi non standard ad un insieme di teoremi che arrivano "poco più in là" dell'analisi classica. Ai miei occhi è un modo molto convincente di formalizzare i passaggi al limite semi-magici che fanno i fisici, e il loro uso sportivo della notazione frazionaria per le derivate. Ti consiglio anche di familiarizzare con la geometria differenziale sintetica, che si può riassumere come "ciò che succede quando con quell'analisi tenti di fare geometria".
Grazie mille, penso che la tua risposta sia molto completa, seguo un corso di studi abbastanza bilanciato tra matematica e fisica, per cui sono strumenti che dovrò acquisire.
Ti pongo un quesito, con meno parole e calcolando di piu, che potrebbe chiarire il mio flusso logico
Consideriamo un campo elettrico E
Una carica dq ( pensiamo ad esempio all'infinitesima parte di un corpo esteso)
Essa subisce:
dF=E dq
(dove F è la forza che agisce su tutto il corpo)
non dovrei secondo l'equazione cardinale poter comunque scrivere questa forza infinitesima in termini di quantità di moto?
È su questo tipo di problema concettuale che sono bloccato, quale è la fallacia ?
