Funzione a variazione limitata

[Alino]

Ciao a tutti! Devo risolvere questo esercizio ma non sono sicuro dello svolgimento. Il testo dice:

"la funzione $f:[0,\pi]->RR$ definita da:

$f(x)={(0,if 0<=x<=2/\pi),(xsin(1/x),if 2/\pi<x<=4/\pi),(cos(x),if 4/pi<x<=\pi):}$

1) è a variazione limitata?
2) è assolutamente continua?"

Non sapevo da dove partire, poi ho provato ad osservare che posso considerare le 3 funzioni separate definite a loro volta sui relativi intervalli (per esempio posso considerare $g(x)=xsin(1/x)$ definita su $[2/\pi,4/\pi]$ perché si può prolungare con continuità sul compatto) e vedere che esse sono monotone, quindi a variazione limitata. Fin qui dovrebbe andare bene, però non so se si può concludere che anche la $f$ è a variazione limitata. Per il secondo punto ho provato a far vedere che non vale il teorema fondamentale del calcolo o forse ancor più facilmente vedendo che non è continua. Qualcuno mi può dare una mano?

[dissonance]

Per la 1, credo che la variazione totale sia additiva, giusto? Voglio dire che
\[
V_a^b f= V_a^cf + V_c^b f, \]
se \(f\colon [a, b]\to \mathbb R\) e \(a<c<b\). Se questo è vero allora la variazione totale su tutto \(\mathbb R\) della tua funzione è uguale alla somma delle variazioni totali su \([0, 2/\pi], [2/\pi, 4/\pi],[4/\pi, \pi]\) e in particolare è finita.

Sul secondo punto mi pare tu abbia risolto, no? Perché hai dubbi?