o-piccolo in funzione a più variabili.

[zampir]

Ciao a tutti, ho deciso di registrarmi ad un forum di matematica perché sono alle prese con analisi 2 ma non riesco a capire un passaggio svolto dal professore in aula.

si aveva un incremento h definito come h=t*v, e dice per h->0 ||t*v||=|t|*||v||.
v è in particolare un autovettore (ora basta dire che è un vettore e si sa essere diverso da zero per il mio dubbio).
Dice inoltre ||tv||^2=t^2*||v||^2 e direi ok

Non capisco perché dica per t->0 o(||tv||^2)=o(t)^2

Gli opiccolo sono stati introdotti in analisi I pochi mesi fa, non sono un asso nell'usarli, però non capisco questo passaggio in più variabili e cosa mi autorizzi a farlo. Perché "sparisce quel vettore v"?
Spero possiate chiarirmi il dubbio, vi ringrazio in anticipo.

[anto_zoolander]

Ciao e benvenuto.
Ti invito a leggere come scrivere le formule in modo corretto.

Partiamo dal fatto che una norma non è una applicazione lineare, quindi non ha senso parlare di autovettore.
Quello che hai è una funzione norma

$||*||:V->RR$

Quello che puoi dire è che preso un vettore $vec(v)$ hai la sua norma $||vec(v)||$ e quindi un ben preciso scalare.
Quelo che si fa è considerare un intervallo $JsubseteqRR$ e la funzione $f:J->RR$ definita come $f(t)=|t|*||vec(v)||=||tvec(v)||$ per le proprietà della norma.

Quello che dice la tua professoressa è che $lim_(t->0)f(t)=0$

Successivamente, penso che sia $o(||tvec(v)||^2)=o(t^2), t->t_0$ ed è corretto poiché dire $’o’$ significa che esiste una funzione infinitesima in $t_0$ sia essa $omega$ definita in un intorno $I(t_0)$ di $t_0$ tale che

$o(||tvec(v)||^2)=||tvec(v)||^2*omega(t),forallt inI(t_0)setminus{t_0}$

Ma chiaramente $||tvec(v)||^2omega(t)=t^2(||vec(v)||^2w(t)),forallt inI(t_0)setminus{t_0}$

Poichè $||vec(v)||^2omega(t)$ è una funzione infinitesima definita in un intorno bucato di $t_0$ quella quantità è esattamente un o-piccolo di $t^2$

Ti direi di andare a fondo alla questione di o-piccolo, visto che $o_(c)(g)$ è un insieme.

[zampir]

Ciao

chiarisco

Partiamo dal fatto che una norma non è una applicazione lineare, quindi non ha senso parlare di autovettore.
Quello che hai è una funzione norma

perché mi sono spiegato male.
Parlavo di autovettore per dire che era positivo v in quanto faceva discendeva nelle parti precedenti della dimostrazione da un'analisi sullamatrice Hessiana definita positiva. Non volevo dilungarmi su questo perché era inutile al fine della domanda sull' o-piccolo vero e prorpio

In effetti non l'avevo mai visto sotto questa forma, mi era solo stato imbastito il concetto di o-piccolo come "confronto" di infinitesimi e classe di funzioni che "tendono più velocemente" di quella al denominatore.
A parer mio sul libro è spiegato maluccio e sbrigativamente, tutto Landau.
Dove potrei reperire concetti per "andare a fondo", anche perché ne sono curioso e penso serva in futuro capirlo meglio.

PS: cerco di imparare il più in fretta possibile, perché credo dovrò postare spesso

Grazie mille.

[anto_zoolander]

Giuseppe De Marco - Analisi 1
A parer mio è la Bibbia dell’analisi matematica, oppure le dispense sui simboli di Landau di Gugo che si commentano da sole

[zampir]

Molte grazie, l'ho ordinato giusto ieri seguendo consigli qui su utenti che chiedevano dritte sui libri.
Settimana prossima arriva, pur avendo già affrontato l'esame di analisi I sento di avere molte lacune.
Lo scarto che c'è tra passare con uno studio di 4 mesi scarsi una materia, rispetto al padroneggiarla, costituisce un abisso.

Mi sento molto stupido ammetto, vi stimo

[anto_zoolander]

Spero che ‘vi’ stia per un riferimento plurale, perché siamo con molta probabilità coetanei
Comunque hai fatto bene, è un ottimo libro, a cui bisogna dare qualche testata

[zampir]

Sì era una generalizzazione a tutti i presenti sul forum (chi risponde ). Ho letto nella mia carriera scolastica molte volte qui, anche qualcosa di algebra lineare e chapeau.
Non so come raggiungere certi livelli , anzi più vado avanti più mi scorderò robe vecchie temo

[anto_zoolander]

Il trucco è creare collegamenti in modo da non dover ricordare tutto ma saper formulare un ragionamento logico che produca il risultato nel minor tempo possibile.
Poi è chiaro che ogni tanto rinfrescare qualcosa non fa male e sopratutto andando più avanti vedrai le cose vecchie da un punto di vista più generale che ti permetterà di tenere a freno i ricordi

[zampir]

Da matricola, mi fiderò
O almeno spero.
Grazie