lunghezza curva

[zio_mangrovia]

Ho provato a sviluppare e impostare questo integrale ma vorrei essere sicuro che va bene, qualcuno può darmi una mano?

La lunghezza della porzione del grafico di $f(x)=lg(1−x^2)$ in $[1/4,3/4]$

$\int_(1/4)^(3/4) sqrt(1+(-(2x)/(1+x^2))^2) dx$

[pilloeffe]

Ciao zio_mangrovia,

A parte un $ + $ invece di un $ - $ a denominatore e supponendo che sia $lg(1 - x^2) = ln(1 - x^2) = log_e (1 - x^2) $ mi pare corretta... Prosegui.

[zio_mangrovia]

per il $-$ .... oops errore di trascrizione|

provando a svolgere l'integrale:

$int_(1/4)^(3/4) sqrt((1+2x^2+x^4)/(1-x^2)^2)=\int sqrt((1+x^2)^2/(1-x^2)^2))=\int (1+x^2)/(1-x^2)=$

posso decomporre il prodotto del polinomio fratto in somma:

$\int1/(1-x^2)+x^2/(1-x^2)=\int 1/((1-x)(1+x))+x^2/(1-x^2)$

Mi preoccupa l'ultimo membro.. $x^2/(1-x^2)$

[Weierstress]

Un trucco standard ma sempre piacevole: \[\displaystyle \frac{x^2}{1-x^2}=-\frac{x^2}{x^2-1}=-\frac{x^2-1+1}{x^2-1}=-\left(1+\frac{1}{x^2-1}\right) \] che è facile da integrare.

P.S. Non dimenticarti i \(\displaystyle \text{d}x \), mantieni le apparenze

[pilloeffe]

Dunque... Innanzitutto dovresti cercare di ragionare con più calma, consapevole delle tue possibilità: altrimenti poi succede che ti perdi dei pezzi per strada (i $dx $...) chiudi parentesi che non hai mai aperto, e ti capita di passare con disinvoltura da un integrale definito ad uno indefinito...

Partiamo da qui:

$ int_{1/4}^{3/4} sqrt((1+2x^2+x^4)/(1-x^2)^2) dx = int_{1/4}^{3/4} sqrt((1+x^2)^2/(1-x^2)^2) dx = int_{1/4}^{3/4} |1+x^2|/|1-x^2| dx $

Ora il modulo al numeratore si può omettere perché siamo certi che $ 1 + x^2 $ è una quantità senz'altro positiva, quello al denominatore anche perché $ 1 - x^2 \ge 0 \iff - 1 \le x \le 1 $ e l'intervallo di integrazione $[1/4. 3/4] \sub [- 1, 1] $ per cui in definitiva occorre calcolare l'integrale seguente:

$ int_{1/4}^{3/4} frac{1+x^2}{1-x^2} dx = int_{1/4}^{3/4} frac{1+x^2 - 1 + 1}{1-x^2} dx = int_{1/4}^{3/4} frac{x^2 - 1 + 2}{1-x^2} dx = - int_{1/4}^{3/4} frac{1 - x^2 - 2}{1-x^2} dx = $
$ = int_{1/4}^{3/4} (- 1 + frac{2}{1-x^2}) dx = int_{1/4}^{3/4} (- 1 + frac{1}{1+x} + frac{1}{1-x}) dx = $
$ = [- x + ln(1 + x) - ln(1 - x)]_{1/4}^{3/4} = $
$ = [ - 3/4 + ln(1 + 3/4) - ln(1 - 3/4) + 1/4 - ln(1 +1/4) + ln(1 - 1/4)] = $
$ = - 1/2 + ln(7/4) - ln(1/4) - ln(5/4) + ln(3/4) = $
$ = ln(21/16) - ln(5/16) - 1/2 = ln(21/5) - 1/2 $

[Weierstress]

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Ammetto di non aver guardato niente se non l'ultimissima richiesta, ma non mi prendo responsabilità per il suggerimento fuori luogo