Serie numerica con logaritmo del fattoriale

[nereide]

$\sum_{k=1}^infty 1/(log(k!)logk)$
La serie dovrebbe convergere. Nè il criterio del rapporto nè quello del confronto mi hanno portato a qualcosa di utile. Ho provato a minorare il fattoriale sfruttando le gerarchie per poi, passando ai reciproci, arrivare a maggiorare il termine generale della serie, ma sono in ogni caso arrivata a serie divergenti, che non potevano essermi d'aiuto. Qualcuno può darmi un hint?

[pilloeffe]

Ciao nereide,

Innanzitutto comincerei con l'osservare che la serie non può partire da $k = 1 $, altrimenti il denominatore si annulla, per cui la serie proposta si assumerà essere la seguente:

$ sum_{k=2}^{+\infty} 1/(log(k!)logk) $

Siccome si può dimostrare che vale la disuguaglianza $k! \ge k^{k/2} \quad \AA k \ge 2 \implies log(k!) \ge k/2 log k \quad \AA k \ge 2 $, si ha:

$ sum_{k=2}^{+\infty} 1/(log(k!)logk) \le 2 sum_{k=2}^{+\infty} 1/(k log^2 k) $

e l'ultima scritta è la serie armonica modificata con $\alpha = 1 $ e $\beta = 2 > 1 $ e pertanto è convergente.
Dai un'occhiata ad esempio qui: https://it.wikipedia.org/wiki/Serie_armonica

[nereide]

Carina questa disuguaglianza, grazie!

[killing_buddha]

Con l'approssimazione di Stirling e il criterio di condensazione (con la successione $2^n$, ma va bene anche $7^n$) fai prima: $\log n! \approx n\log n$ e quindi
\[
\sum_{k\ge 0} \frac{1}{\log k\log k!} \;\triangle\; \sum_{n\ge 0} 7^n \frac{1}{\log(7^n!)\log(7^n)} \asymp \sum_{n\ge 0} \frac{1}{n^2\log 7}
\] che converge, come ben noto.


N.: Siccome non avevo voglia di scrivere molto, \(\triangle\) significa che la serie a sinistra del simbolo converge se e solo se converge la serie a sinistra: il criterio di condensazione dice che \(\sum a_n \;\triangle\; \sum \Delta u(n) a_{u(n)}\) per una successione non crescente $a_n$ e una successione $u(n)$ che soddisfa la condizione di Schlömilch.

[otta96]

il criterio di condensazione dice che \(\sum a_n \;\triangle\; \sum a_{u(n)}\) per una successione non crescente che soddisfa la condizione di Schlömilch.

Bella questa generalizzazione del criterio di condensazione classico, non la conoscevo, ma su Wikipedia, dopo aver spiegato come funziona dice che la versione classica è un caso particolare di quest'altra con $u(n)=2^n$, ma dice che $\Deltau(n)=2$, non dovrebbe essere $\Deltau(n)=2^(n-1)$?
P.S. Ho controllato la pagina italiana e in effetti c'è scritto $\Deltau(n)=2^(n-1)$, quindi torna tutto, magari provo a cambiare la pagina inglese.
P.P.S. Ti sei dimenticato di mettere $\Deltau(n)$ a moltiplicare.

[killing_buddha]

Grazie, ora ho corretto!

[pilloeffe]

Ciao otta96,

ma su Wikipedia, dopo aver spiegato come funziona dice che la versione classica è un caso particolare di quest'altra con $u(n)=2^n $, ma dice che $\Delta u(n) = 2 $, non dovrebbe essere $\Delta u(n)=2^{n−1} $ ?

C'è qualcosa che non mi torna in ciò che hai scritto, perché se $ \Delta u(n) := u(n + 1) - u(n) $ allora il criterio di condensazione di Cauchy si ottiene come caso particolare ponendo $u(n) := 2^n $ e si ha:

$ \Delta u(n) := u(n + 1) - u(n) = 2^{n + 1} - 2^n = 2^n (2 - 1) = 2^n $

Correggimi se sbaglio...

[otta96]

Hai ragione pilloeffe, mi ero confuso pensando che $\Deltau(n) =u(n) - u(n-1)$, invece è come dici te, tra l'altro ho visto che qualcuno ha già corretto la mia correzione si Wikipedia.

[pilloeffe]

qualcuno ha già corretto la mia correzione su Wikipedia.

Sono stato io in un momento di insonnia, ma vista l'ora in cui ho fatto la modifica avrei potuto tranquillamente essermi sbagliato, per questo ti ho chiesto di correggermi se sbagliavo...
Ho corretto anche qualche indice di sommatoria, infatti se la serie iniziale è $ sum_{n = 1}^{+\infty} a_n $ l'altra serie parte da $n = 0 $:

$ sum_{n = 0}^{+\infty} 2^n a_{2^n} $

Nella versione in italiano ho inserito anche qualche formula e corretto l'indice di sommatoria dell'esempio, che non poteva partire da $n = 1 $ perché in tal caso si sarebbe annullato il logaritmo, per cui la serie è diventata la seguente:

$ sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n (\ln n)^a (\ln \ln n)^b} $

https://it.wikipedia.org/wiki/Criterio_di_condensazione_di_Cauchy