Punti di accumulazione su circonferenza

[Silent]

Sto cercando un modo di descrivere quali sono tutti i punti di accumulazione dell'insieme costruito in questo modo: data una circonferenza di raggio $R$, chiamo $\mathcal{A}$ l'insieme dei punti sulla circonferenza ottenuti dalle infinite rotazioni di angoli multipli di un dato angolo $\alpha \in \mathbb{Z}$.

In altre parole: $\mathcal{A}=\{x \in [-\pi R, \pi R) \subset \mathbb{R}|\exists n,k \in \mathbb{Z}(x=n\alpha R -k2 \pi R) \}$

Si dimostra in un attimo che deve avere la seguente condizione tra $n$ e $k$: \(\displaystyle n\frac{\alpha }{2\pi }-\frac{1}{2}\geq k>n\frac{\alpha }{2\pi }+\frac{1}{2} \) o equivalentemente \(\displaystyle \left( 2k-1 \right)\frac{\pi }{\alpha }\leq n<\left( 2k+1 \right)\frac{\pi }{\alpha } \).

Sono riuscito a dimostrare solo che $\mathcal{A}$ è infinito, poiché se imponessi: $x_1=x_2$ con $n_1 \ne n_2$, allora ciò implicherebbe:

\(\displaystyle n_1\alpha R -k_12 \pi R=n_2\alpha R -k_22 \pi R \)
\(\displaystyle 0 \ne (n_1-n_2)\alpha =(k_1-k_2)2\pi \)

che è assurdo poiché $\pi \notin \mathbb{Q}$.

Dunque $\mathcal{A}$ è sia infinito che limitato $\Rightarrow$ ha almeno un punto di accumulazione.

Più di questo però non riesco a trovare, vorrei capire quali e quanti sono questi punti di accumulazione. Ho pensato che l'insieme dei punti di accumulazione di $\mathcal{A}$ potesse essere l'intero intervallo $[-\pi R, \pi R)$, ma per dimostrare questo dovrei far vedere che per ogni $x \in [-\pi R, \pi R)$ esistono una coppia di indici $n$ e $k$ tali che la distanza $|x-(n\alpha R-k2\pi R)|$ sia piccola a piacere, ed anche utilizzando le disuguaglianze scritte sopra non si arriva a niente di importante...

Spero in un lume,
grazie in anticipo.

[anto_zoolander]

uso $r:=R$ e pongo $S^r={(x,y)inRR^2:x^2+y^2=r^2}$

a meno di multipli di $2pi$ possiamo prendere un certo $alpha in[0,2pi]capZZ$ per fissare le idee prendiamolo in $[0,pi]capZZ$ chiaramente dovendo essere un radiante potremo avere $alpha=0,1,2,3$

chiaramente tale angolo è individuato da una coppia di vettori tali per cui $(v*e_1)/(|v|*|e_1|)=cos(alpha)$ e tale per cui $|v|=r$ in poche parole il nostro vettore sarà $v=r(cos(alpha),sin(alpha))$

ottenere punti individuati da una rotazione di un multiplo intero di $alpha$ significa ruotare quel vettore.
ovvero significa

$[(x),(y)]=[(cos(n alpha),-sin(n alpha)),(sin(n alpha), cos(n alpha))]*[(rcos(alpha)),(r sin(alpha))]=[(rcos((n+1)alpha)),(r sin((n+1)alpha))]$

ovvero l'insieme $A={(rcos((n+1)alpha)),r sin((n+1)alpha)) inS^r: n inZZ}$

secondo me doveva venirti qualcosa del genere, visto che parli di 'punti su una circonferenza'. Come fa a venirti un intervallo?

[Silent]

Non è equivalente impostarlo come ho fatto io?
Ho semplicemente "linearizzato" la circonferenza:

Schema elettrico

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[anto_zoolander]

Sicuramente una circonferenza è omotopa a un segmento, ma a livello di punti di accumulazione non saprei come ci si comporta 'linearizzando' la circonferenza.

[Silent]

Vorrei chiarire un punto
Questo esercizio viene proposto subito dopo la teoria sui limiti di successioni in \(\displaystyle \mathbb{R} \)
Insomma, sono al livello zero... Non so cosa voglia dire omotopa per ora ma dubito c'entri qualcosa in questo contesto.

Perdona l'ignoranza.

[dissonance]

Sicuramente una circonferenza è omotopa a un segmento

Non c'entra nulla.

@Ianero: https://en.wikipedia.org/wiki/Kronecker%27s_theorem

Mi pare che tu stia cercando di ritrovare il caso \(n=1\) di questo teorema. Una risorsa più leggibile è questo bellissimo post di Martino:

viewtopic.php?p=256504#p256504

[anto_zoolander]

https://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?p=256504#p256504

è potentissimo

[.Ruben.]

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Dimostrerò che i punti $x^n$, dove $x=e^{i\theta}$, con $\frac{\theta}{\pi}$ irrazionale, sono densi sulla circonferenza complessa di raggio 1, ossia che per ogni $\epsilon > 0$ e per ogni punto P sulla circonferenza, esiste un elemento Q di $A = { x^n, n \in \mathbb{N} }$, tale che l'angolo al centro sotteso al segmento PQ sia minore di $\epsilon$.
Questo implica che i punti $((cos(\alpha + n \theta), sin(\alpha + n \theta))$, che possono essere visti come i punti dell'insieme A mandati in $\mathbb{R}^2$ tramite l'isomorfismo canonico e ruotati di un'angolo $\alpha$, sono densi sulla circonferenza goniometrica.
Per dimostrare la densità di A, fisso $\epsilon >0$ e prendo $N>\frac{2\pi}{\epsilon}$. Fatto questo, taglio la circonferenza complessa unitaria in $N$ parti, ognuna di $\frac{2\pi}{N}<\epsilon$ radianti. Ora prendo $N+1$ potenze consecutive di $x$. Per il principio dei cassetti, 2 di esse dovranno trovarsi nella stessa fetta di circonferenza; siano esse $x^a$ e $x^b$, con $a > b$. Poichè $\frac{\theta}{\pi}$ è irrazionale, similmente a come si è spiegato prima, $z^a \ne z^b$. Dunque abbiamo due diversi elementi di $A$ a distanza tra loro minore di $\epsilon$: per questo motivo l'angolo formato da $z^{a-b}$ con l'asse reale è minore di $\epsilon$. Allora il sottoinsieme $A_{\epsilon} \subset A$, definito da $A_{\epsilon} = { z^{(a-b)n} \, con \, n \in \mathbb{N} }$ è formato da elementi tali che la distanza in radianti tra due di essi consecutivi è minore di $\epsilon$. Dunque preso un punto $P$ sulla circonferenza complessa unitaria, esiste sempre un $Q \in A_{\epsilon}$ che ha distanza in radianti da $P$ minore di $\epsilon$. Per l'arbitrarietà di $\epsilon$, ciò implica che anche $A$(che contiene $A_{\epsilon}$) è denso, da cui la tesi.

[anto_zoolander]

@ruben non vale

[Silent]

Domani leggo tutto quello avete postato, intanto vi ringrazio moltissimo