Espressioni q-arie numeri reali
Inviato: 13/03/2018, 23:49
Ciao ragazzi,
sto cercando di dimostrare che differenti espressioni q-arie, conducono a differenti numeri reali.
Con espressione q-aria di un numero $x \in \mathbb{R}$ intendo un successione di somme parziali $r_n=\alpha_{p} q^{p}+\alpha_{p-1} q^{p-1}+...+\alpha_{p-n} q^{p-n}$ ($q>1$ base della rappresentazione q-aria, $p \in \mathbb{N}$ ordine di $x$ e i digits $\alpha_i \in \mathbb{N}$ che verificano $0<\alpha_i<q$) tali che:
\(\displaystyle r_n \leq x<r_n+q^{p-n} \).
Sono arrivato alla dimostrazione (solo nel caso $q$ intero in realtà) che innanzitutto una espressione q-aria di un numero reale $x$ non può contenere, da un certo indice in poi, solo digits uguali al massimo possibile, ovvero \(\displaystyle \alpha_i = q-1 \). In tal caso infatti sfruttando la disuguaglianza scritta sopra si arriverebbe ad un assurdo.
Poi, sono riuscito a dimostrare (anche qui solo nel caso $q$ intero) che se due successioni di somme parziali $\{r_n\}$ e $\{r'_n\}$ sono diverse da un certo indice $N$ in poi, allora è sufficiente verificare se $\alpha_{p-N}>\alpha '_{p-N}$ oppure $\alpha_{p-N}<\alpha '_{p-N}$, per poter concludere rispettivamente che $r_n>r'_n$ oppure $r_n<r'_n$, per ogni indice $n\geqN$.
Con queste cose posso solo dire che, se ad esempio $r_n>r'_n$ per ogni indice superiore a $N$, allora:
\(\displaystyle r_n'< r_n \leq x<r_n+q^{p-n} ,\; \forall n\geq N\)
il che comunque consente solo di scrivere:
\(\displaystyle x'=\lim_{n \to \infty}r_n'\leq\lim_{n \to \infty}r_n=x \)
e non invece ciò che vorrei ottenere:
\(\displaystyle x'=\lim_{n \to \infty}r_n' < \lim_{n \to \infty}r_n=x \).
Qualche spunto?
Grazie in anticipo.
sto cercando di dimostrare che differenti espressioni q-arie, conducono a differenti numeri reali.
Con espressione q-aria di un numero $x \in \mathbb{R}$ intendo un successione di somme parziali $r_n=\alpha_{p} q^{p}+\alpha_{p-1} q^{p-1}+...+\alpha_{p-n} q^{p-n}$ ($q>1$ base della rappresentazione q-aria, $p \in \mathbb{N}$ ordine di $x$ e i digits $\alpha_i \in \mathbb{N}$ che verificano $0<\alpha_i<q$) tali che:
\(\displaystyle r_n \leq x<r_n+q^{p-n} \).
Sono arrivato alla dimostrazione (solo nel caso $q$ intero in realtà) che innanzitutto una espressione q-aria di un numero reale $x$ non può contenere, da un certo indice in poi, solo digits uguali al massimo possibile, ovvero \(\displaystyle \alpha_i = q-1 \). In tal caso infatti sfruttando la disuguaglianza scritta sopra si arriverebbe ad un assurdo.
Poi, sono riuscito a dimostrare (anche qui solo nel caso $q$ intero) che se due successioni di somme parziali $\{r_n\}$ e $\{r'_n\}$ sono diverse da un certo indice $N$ in poi, allora è sufficiente verificare se $\alpha_{p-N}>\alpha '_{p-N}$ oppure $\alpha_{p-N}<\alpha '_{p-N}$, per poter concludere rispettivamente che $r_n>r'_n$ oppure $r_n<r'_n$, per ogni indice $n\geqN$.
Con queste cose posso solo dire che, se ad esempio $r_n>r'_n$ per ogni indice superiore a $N$, allora:
\(\displaystyle r_n'< r_n \leq x<r_n+q^{p-n} ,\; \forall n\geq N\)
il che comunque consente solo di scrivere:
\(\displaystyle x'=\lim_{n \to \infty}r_n'\leq\lim_{n \to \infty}r_n=x \)
e non invece ciò che vorrei ottenere:
\(\displaystyle x'=\lim_{n \to \infty}r_n' < \lim_{n \to \infty}r_n=x \).
Qualche spunto?
Grazie in anticipo.