Derivata: Retta tangente per DUE punti?

Buona sera.

La derivata di una funzione \(\displaystyle f \) in un punto è pari al coefficiente angolare della retta tangente ad \(\displaystyle f \) nel punto in cui si calcola la derivata. La retta tangente in esame, però, passa per definizione per due punti infinitamente vicini. Mi è sorta pertanto la seguente domanda:

Quando troviamo il punto di massimo \(\displaystyle P \) di una funzione, abbiamo che la tangente a quel punto è orizzontale, ovvero ha coefficiente angolare nullo. Se è vero che la tangente passa sempre per due punti, allora "a fianco" al punto di massimo dobbiamo concepire un punto, anch'esso di massimo, infinitamente vicino a \(\displaystyle P \)? Questo seguirebbe direttamente dalla necessità di avere due punti per i quali passi la tangente.
E' una questione di definizioni, forse, ma a partire da questa domanda seguono altre considerazioni. Ad esempio, poiché il punto è un ente geometrico a dimensione nulla, l'unione dei due punti infinitamente vicini costituisce a sua volta un punto a dimensione nulla? In tal caso il punto di massimo non è distinguibile, in termini geometrici e numerici, dall'unione del punto di massimo con quello a fianco. Con "unione" intendo che, essendo infinitamente vicini, "collassano" l'uno sull'altro senza sovrapporsi.

Qualcuno può aiutarmi a trovare una delucidazione in merito?

Cosa dicevo?
viewtopic.php?p=8344409#p8344409


Risposta al post di tmox: facile rispondere, NON esistono punti infinitamente vicini(*). Trovi semplici dimostrazioni di questo fatto in qualunque libro che mostri le proprietà dei numeri reali.
Quindi non è vero (per meglio dire: non ha senso), che la retta tangente al grafico di una funzione passi "per due punti infinitamente vicini".


Se qualcuno parla di analisi non standard lo fulmino col mio sguardo

Cosa dicevo?
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Risposta al post di tmox: facile rispondere, NON esistono punti infinitamente vicini(*). Trovi semplici dimostrazioni di questo fatto in qualunque libro che mostri le proprietà dei numeri reali.
Quindi non è vero (per meglio dire: non ha senso), che la retta tangente al grafico di una funzione passi "per due punti infinitamente vicini".


Se qualcuno parla di analisi non standard lo fulmino col mio sguardo

Quindi passa per un punto solo? Il fatto che la derivata si definisca come rapporto incrementale, e quindi idealmente come una retta secante la curva della funzione che venga fatta passare per punti sempre più vicini, non provoca una contraddizione?

La derivata è un limite, non è il rapporto incrementale.

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.

Se qualcuno parla di analisi non standard lo fulmino col mio sguardo

Bhé dai, no...

Queste domande e simili non sono stupide, anzi sono abbastanza interessanti. Fondamentalmente denotano che in fondo il concetto di limite non è così chiaro, così come il preambolo sull'insieme dei numeri reali. O quantomeno, ci sono delle perplessità che prima o poi sorgono... Perplessità del tutto perdonabili a parer mio¹, visto che non sono solo quattro gatti ad avere dubbi del genere. O no? Mi chiedo anche, dove possa stare questa difficoltà, dove si "inciampa", cosa uno capisce quando gli spieghi i primi rudimenti sui limiti, a partire dalla definizione di limite. Dove sta il lupus in fabula che fa scattare la molla dell' "infinitamente vicini [ma diversi]"... Sono curioso...

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Note

1. Ma io non sono niente, quindi... ↑

Ultima modifica di Indrjo Dedej il 15/04/2018, 16:51, modificato 1 volta in totale.

Dove sta il lupus in fabula che fa scattare la molla dell' "infinitamente vicini [ma diversi]"... Sono curioso...

Ciao
non so se ho capito la domanda...
allora nefaccio a mia volta

quanto possono essere "vicini" due numeri?
quanto piccola può essere la loro differenza (in valore assoluto)?
prima di annullarsi


quanto possono essere "vicini" due punti?
quanto piccola può essere la loro "distanza"?
prima di finire a coincidere

Se qualcuno parla di analisi non standard lo fulmino col mio sguardo

Bhé dai, no...

Queste domande e simili non sono stupide, anzi sono abbastanza interessanti. Fondamentalmente denotano che in fondo il concetto di limite non è così chiaro, così come il preambolo sull'insieme dei numeri reali. O quantomeno, ci sono delle perplessità che prima o poi sorgono... Perplessità del tutto perdonabili a parer mio¹, visto che non sono solo quattro gatti ad avere dubbi del genere. O no? Mi chiedo anche, dove possa stare questa difficoltà, dove si "inciampa", cosa uno capisce quando gli spieghi i primi rudimenti sui limiti, a partire dalla definizione di limite. Dove sta il lupus in fabula che fa scattare la molla dell' "infinitamente vicini [ma diversi]"... Sono curioso...

Indrjo Dedej, mi pare di capire che sei ancora alle superiori. Se così è ti perdono, anche se mi costa fatica.

Il tuo è un intervento del tutto a sproposito rispetto alla tua citazione iniziale. Semplicemente non volevo che qualche saputello alzasse il ditino dicendo: "ma... con l'analisi non standard si possono usare gli infinitesimi", visto che se si parla di analisi non standard siamo su tutt'altro livello del discorso rispetto alla domanda e alle preoccupazioni, del tutto comprensibili e meritevoli di adeguata risposta, espresse nel post iniziale.

Le considerazioni che fai tu non c'entrano nulla con la mia frase che citi.

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Note

1. Ma io non sono niente, quindi... ↑

Era solo per chiedere. Vabbé, a volte non so far passare un messaggio ad altre persone... Ok. La citazione non c'entrava nulla, e credevo di averla fatta un po' separata fisicamente dal resto del testo... Metto un po' di spazio in più o la tolgo proprio.

Le domande che ho fatto - svincolate dalla citazione iniziale - sono totalmente stupide? Vorrei capire, perché in molte situazioni da te ho potuto imparare molte cose. (In molte occasioni ho imparato facendo domande stupide...) Però se i miei dubbi ti sembrano troppo stupidi o senza senso, va benissimo e capirò aver superato i miei limiti. Ciao.

...
Vabbé, a volte non so far passare un messaggio ad altre persone...
...

Anche se uno può sempre provare a impegnarsi un po' di più, capita:
https://www.facebook.com/MeditationMast ... =3&theater
E, come ho commentato su fb, la figura è eccessivamente ottimistica. Non è detto che "ciò che la gente capisce" sia un sottoinsieme di "quello che penso". Anzi

Le idee confuse sugli infinitesimi, su punti "infinitamente vicini" son dure a morire. E se ne guarisce solo studiando con serietà le nozioni fondamentali dell'analisi matematica, avendo a disposizione buoni libri e buoni maestri.

Perché queste fole continuano a girare, come le bufale sui "social"?
Provo a mettere giù qualche motivo che mi viene in mente:
- si può avere una buona idea di cosa succede "al limite", considerando punti "molto" vicini. Anzi, più son vicini meglio è. Prendiamoli allora "infinitesimamente" vicini!
- all'università, alcuni colleghi li usano con apparente disinvoltura. E, allora, se lo fanno loro (stiamo parlando di persone di scienza, mica astrologhi), si potrà fare, pensa lo studente che subisce il fascino dell'autorità (e sono tanti, c'ero anch'io ai miei tempi, in questa orda)
- alla stragrande, ma proprio grande, maggioranza delle persone al mondo manca una preparazione adeguata per capire il concetto di limite (and friends) e quindi (ammesso che ne abbiano bisogno) sono facile preda del canto delle sirene, ovvero del linguaggio degli infinitesimi
- gli infinitesimi (i dx) svolgono un ruolo egregio (come Post-it) in alcune circostanze: integrazione per parti e sostituzione, derivata di funzioni composte, edo a vs (urang-utang©), e varie cose su integrali di linea e di superficie. Perché privarsi di questi amabili foglietti gialli?
- beh, poi, c'è stato Leibnitz che ci ha lasciato in eredità delle notazioni fatte apposta per essere usate con gli infinitesimi
- e le cose messe lì apposta per confondere le idee, tipo le "due radici coincidenti", vedi viewtopic.php?f=36&t=187107
- o notazioni che mettono a dura prova le nostre capacità cognitive, facendoci friggere il cervello: è vero che 1=0.99999999... ?

Lascio a colleghi più esperti vel più volenterosi vel più colti vel più intelligenti vel etc. la palla. Adesso il dovere di "dirigente sportivo" mi chiama