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Ciao ragazzi ho pensato di poter calcolare l'area della sfera nel seguente modo, può andare bene concettualmente?

prendo la sfera di raggio R ed immagino di dividerla a fette piccolissime di spessore $ Rdalpha $ (con $ alpha $ un angolo piccolissimo) e raggio $ R*sen(alpha) $. Dato che parlo di piccole "dimensioni" posso approssimare queste fette a cilindri e calcolare la loro area come quella di un cilindro. poi integro l'area infinitesima da zero a pigreco.

E' un metodo molto da fisico, ma mi sembra dia la risposta corretta. Per non sprecare questo commento e continuare a fare propaganda alla cosa, ti invito a venire a conoscenza con l'analisi non-standard, un impianto dell'analisi classica dove questo genere di manipolazioni sono perfettamente formali.

L'analisi non standard ti fa capire come puoi eventualmente formalizzare questi passaggi ma non ti fa capire perché possono funzionare o no. Invece, sempre se non si vuole sprecare il commento, io piuttosto cercherei esempi in cui un ragionamento apparentemente analogo non fornisce il risultato corretto (prova ad esempio con la superficie laterale del cono).

Bisogna fare qualche conto, ma perché non dovrebbe dare la risposta corretta?

Ovviamente se lo imposti nel modo "corretto" da' il risultato giusto, ma siccome in questi argomenti c'e' un piccolo margine di arbitrarietà su cosa e' piccolo e/o assimilabile a un d qualcosa e' possibile entrare in errore. Ricordo di aver visto un esempio relativo all'area laterale del cono tempo fa in cui e' facile sbagliarsi, andrebbe ricostruito, il mio scopo era lasciarlo come esercizio a matteo_g.

Luca.Lussardi ha scritto:Ovviamente se lo imposti nel modo "corretto" da' il risultato giusto, ma siccome in questi argomenti c'e' un piccolo margine di arbitrarietà su cosa e' piccolo e/o assimilabile a un d qualcosa e' possibile entrare in errore.

Sono d'accordo su questo punto. Ad esempio, nel caso in questione, Matteo ha approssimato una fettina di sfera corrispondente all'angolo $d\theta$ con un cilindro di altezza $d\theta$. Chiaramente queste due figure geometriche sono diverse ed hanno una superficie diversa, quindi non è ovvio che integrando i cilindretti alla fine si ritroverà la sfera. È in questo passaggio che potrebbe nascondersi un errore.

Nel caso in questione, la superficie del cilindretto e quella della fettina di sfera sono uguali al primo ordine in $d\theta$, ed è per quello che alla fine tutto funziona. Qui c'è una risposta recente di Vulplaisir in cui la cosa è spiegata bene con un disegno.

Se si fa questa analisi al primo ordine, il metodo darà sempre la risposta corretta. Infatti, anche se si usa un linguaggio basato sul concetto scivoloso di "infinitesimo" (Fioravante Patrone direbbe che è un metodo "urang-utang") , i conti fatti potrebbero essere riscritti rigorosamente in termini di cambiamento di variabile negli integrali. Più precisamente, l'osservazione contenuta nel testo evidenziato è esattamente la formula di cambiamento di variabile. Sto parlando della formula \(\int_a^b f(g(x))\frac{dg}{dx}\, dx = \int_{g(a)}^{g(b)}f(y)\, dy\), abbreviata comunemente in
\[
y=g(x),\quad dy = \frac{dg}{dx}\, dx, \]
che difatti è una formula al primo ordine, nel senso che dipende solo dalla derivata prima di \(g\) e non dalle derivate superiori.

Quanto al cono, sarebbe proprio interessante ricostruire questo argomento fallace. Il cono contiene un punto singolare, la punta, e potrebbe essere lì il problema.

ho capito ragazzi, grazie mille per la risposta. Ora per curiosità voglio fare l'esercizio che mi avete proposto del cono. In caso di problema vi scrivo!!
Grazie ancora!

quindi Con l'analisi non standard se ho capito bene non ci sono quindi regole vere e proprie per capire se la strada che abbiamo preso ci fornisce il risultato corretto?

Non credo sia necessario essere così drastici, tuttavia è vero che si dovrebbe controllare con attenzione tutti i passaggi coinvolti nel conto (i punti singolari di un cono sono comunque "di misura zero" su tutto il cono: eliminali, e l'area della figura "bucata" rimarrà la stessa).

Nel caso della superficie della sfera, il metodo dei cilindretti funziona, ma già con il volume...