Luca.Lussardi ha scritto:Ovviamente se lo imposti nel modo "corretto" da' il risultato giusto, ma siccome in questi argomenti c'e' un piccolo margine di arbitrarietà su cosa e' piccolo e/o assimilabile a un d qualcosa e' possibile entrare in errore.
Sono d'accordo su questo punto. Ad esempio, nel caso in questione, Matteo ha approssimato una fettina di sfera corrispondente all'angolo $d\theta$ con un cilindro di altezza $d\theta$. Chiaramente queste due figure geometriche sono diverse ed hanno una superficie diversa, quindi non è ovvio che integrando i cilindretti alla fine si ritroverà la sfera. È in questo passaggio che potrebbe nascondersi un errore.
Nel caso in questione, la superficie del cilindretto e quella della fettina di sfera sono uguali al primo ordine in $d\theta$, ed è per quello che alla fine tutto funziona. Qui c'è una risposta recente di Vulplaisir in cui la cosa è spiegata bene con un disegno.Se si fa questa analisi al primo ordine, il metodo darà sempre la risposta corretta. Infatti, anche se si usa un linguaggio basato sul concetto scivoloso di "infinitesimo" (Fioravante Patrone direbbe che è un metodo "urang-utang") , i conti fatti potrebbero essere riscritti rigorosamente in termini di cambiamento di variabile negli integrali. Più precisamente, l'osservazione contenuta nel testo evidenziato è
esattamente la formula di cambiamento di variabile. Sto parlando della formula \(\int_a^b f(g(x))\frac{dg}{dx}\, dx = \int_{g(a)}^{g(b)}f(y)\, dy\), abbreviata comunemente in
\[
y=g(x),\quad dy = \frac{dg}{dx}\, dx, \]
che difatti è una formula al primo ordine, nel senso che dipende solo dalla derivata prima di \(g\) e non dalle derivate superiori.
Quanto al cono, sarebbe proprio interessante ricostruire questo argomento fallace. Il cono contiene un punto singolare, la punta, e potrebbe essere lì il problema.