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Ciao!

siano $(X,d_X)$ e $(Y,d_Y)$ spazi metrici, siano $KsubseteqX$ compatto e $f:K->Y$ funzione

$f$ continua $=>$ $f(K)$ compatto.

lo so, magari è anche facile, ma studio solo ed ho bisogno di conferme

sia ${a_n}_(n inNN)subseteqf(K)$ una successione
allora $foralln inNN,a_n inf(K) => existsx_n inK:f(x_n)=a_n$

- dunque si ottiene una successione ${x_n}_(n inNN)subseteqK:f(x_n)=a_n,foralln inNN$

- $K$ è compatto dunque esiste una sottossuccessione di $(x_(n_j))_(j inNN)$ convergente ad un certo $x_0 inK$

- $f$ è continua in $K$ quindi $d_X(x_(n_j),x_0)->0 => d_Y(f(x_(n_j)),f(x_0))->0$

- essendo $f(x_(n_j))=a_(n_j)$ si ottiene che $d_Y(a_(n_j),f(x_0))->0$

quindi ${a_(n_j)}_(j in NN)$ è una sottosuccessione di ${a_n}_(n inNN)$ convergente ad $f(x_0) inf(K)$ pertanto è compatto.

Esattamente.

Ma cos'è questa storia che "studi solo"? Non sei iscritto all'università?

Si, sono iscritto.

Le lezioni le seguo poco, solo quelle con i professori con i quali mi trovo bene.
Non so se per me o per i professori, ma alcune lezioni mi lasciano più domande che risposte... quindi diciamo che la maggior parte delle cose che so l’ho appresa da solo.

Anche i libri li uso sporadicamente se non per lettura ‘senza impegno’.
Le dimostrazioni le leggo poco, mi piace farle da me nella maggior parte dei casi, tipo questa

Cosa?

Comunque ti faccio notare che la stessa dimostrazione funziona praticamente uguale se al posto di spazi metrici lavori in spazi topologici.

Devo dare una lettura alla compattezza con i ricoprimenti

Non necessariamente.

Dici usare la stessa definizione di compattezza sugli spazi topologici?
Se mi dai gli ingredienti ci penso