Limite successioni.

Messaggioda vivi96 » 18/04/2018, 08:28

Sono con il cellulare ho difficoltà a scrivere le formule, chiedo scusa.
Ho il limite di una successione dove $ninR$ $\lim_{n\to\infty}sen(sqrt(n+1))-sen(sqrt(n))$ che mi dice che va a 0, ma non capisco come dimostrarlo
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Re: Limite successioni.

Messaggioda Berker » 18/04/2018, 09:54

Prova a partire da qui $\sin(\sqrt{n}\cdot \sqrt{1+\frac{1}{n}}) -\sin(\sqrt{n})$
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Re: Limite successioni.

Messaggioda anto_zoolander » 18/04/2018, 15:21

$|sin(sqrt(x+1))-sin(sqrt(x))|leq|sqrt(x+1)-sqrt(x)|$
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Re: Limite successioni.

Messaggioda gugo82 » 18/04/2018, 20:07

Formule di prostaferesi. :wink:
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Re: Limite successioni.

Messaggioda anto_zoolander » 18/04/2018, 22:05

È un bell’esempio per utilizzare la Lipschitzianità del seno :twisted:
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Re: Limite successioni.

Messaggioda vivi96 » 20/04/2018, 14:24

Volevo provare con le formule di prostaferesi , però mi ritrovo un coseno che moltiplica un seno e non so come potrei svilupparlo
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Re: Limite successioni.

Messaggioda vivi96 » 20/04/2018, 14:25

anto_zoolander ha scritto:
$|sin(sqrt(x+1))-sin(sqrt(x))|leq|sqrt(x+1)-sqrt(x)|$

La maggioro con quella?
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Re: Limite successioni.

Messaggioda anto_zoolander » 20/04/2018, 14:31

Deriva dalla Lipschitzianità della funzione seno, puoi usare questa maggiorazione
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Re: Limite successioni.

Messaggioda vivi96 » 20/04/2018, 14:32

Mentre con le formule di prostaferesi avresti un consiglio dopo aver applicato banalmente la formula?
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Re: Limite successioni.

Messaggioda gugo82 » 20/04/2018, 14:56

Beh, scusa, hai:
\[
\sin \sqrt{n+1} - \sin \sqrt{n} = 2 \cos \frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{2}\ \sin \frac{\sqrt{n+1} - \sqrt{n}}{2}\; ,
\]
col primo fattore limitato ed il secondo infinitesimo, dunque...
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