da Ernesto01 » 20/04/2018, 22:21
Qualche osservazione:
Credo che hiedere tutte le soluzioni non equivale in generale a chiedere le soluzioni con $y(0)=y_0$ al variare di $y_0 in RR$, però il problema di "tutte" le soluzioni è estenuante, considererò la condizione $y(0)=y_0$
Puoi limitarti al semipiano positivo dato che se $y(x)$ è soluzione, lo dovrebbe essere anche $-y(-x)$. (Magari non con la stessa condizione iniziale, ma fa niente dato che ti servono tutte le soluzioni al variare di $y_0$)
Quando vedi dei quadrati puoi iniziare a dubitare dell'esistenza globale (poi ovviamente dipende).
In particolare puoi vedere che per $y_0$ abbastanza alto, per ogni $x>=0$, $y'(x)=y^2-x^2>=y^2/2$ (prova a vedere in quale regione vale questa disuguaglianza, e assicurati che vale per $y_0$ grande)
La soluzione di $y'(x)=y^2/2$ è facile da calcolare, ed ha un blow up. Quindi anche la soluzione del problema iniziale ha blow up per $y_0$ e inoltre puoi stimare il blow up per eccesso. Banalmente si ha dunque blow up per ogni condizione iniziale $y(0)=\bar(y)>=y_0$
Poi vabbè semi-ovvio: per i valori di $y_0$ per cui si ha esistenza globale, sicuramente $lim_(x->oo) y(x)$ non è reale.
In generale l'idea è di vedere come si potrebbe comportare la soluzione vedendo le regioni di monotonia, e poi verificare se tali comportamenti sono realmente assunti tramite maggiorazioni o altre tecniche.