limite con taylor

[lepre561]

$lim_(x->0)(e^x-1-sinx)/log(1+x)$

allora ho provato a risolvere in questo modo
$lim_(x->0)(1+x+x^2/2+o(x^2)-1-x+o(x))/(x+o(x))$

$lim_(x->0)(x^2/2+o(x^2))/(x+o(x))$

$lim_(x->0)(x^2/2)/(x)$

$lim_(x->0)x/2=0$


Innanzitutto vorrei sapere se è corretto, in second ordine il mio dubbio è se al numeratore potessi di calcolare $e^x$ fino al primo ordine e se al denominatore avessi dovuto calcolare $log(1+x)$ fino al secondo ordine


grazie

[pilloeffe]

Ciao lepre561,

Il risultato che hai ottenuto è corretto, ma nel caso specifico non vedo la necessità di usare gli sviluppi in serie, bastano i limiti notevoli:

$ lim_{x \to 0}(e^x-1-sinx)/log(1+x) = lim_{x \to 0}(e^x-1)/log(1+x) - lim_{x \to 0}(sinx)/log(1+x) = $
$ = lim_{x \to 0}(e^x-1)/x \cdot x/log(1+x) - lim_{x \to 0}(sinx)/x \cdot x/log(1+x) = 1 \cdot 1 - 1 \cdot 1 = 0 $