Esercizi sui numeri complessi

Messaggioda Landau » 20/04/2018, 19:04

Salve, voglio dimostrare che se $P$ è un polinomio a coefficienti reali, allora \(\displaystyle P(z)=0 \Leftrightarrow P(\bar z)=0 \).
Scriviamo \(P(z)=\sum_{k=0}^n a_kz^k \) con \( a_k\in\mathbb{R} \ \forall k\). Per la linearità del coniugio \(\displaystyle P(\overline z)=\overline P(z) \) dal momento che \(\overline{\sum_{k=0}^n a_kz^k}=\sum_{k=0}^n \overline{a_k}\overline{z}^k=\sum_{k=0}^n a_k\overline{z}^k \). La tesi segue dalla coniugazione di entrambi i membri di \(\displaystyle P(z)=0 \) e di\(\displaystyle \overline P(z)=0 \) rispettivamente. Può andare bene?

Dovrei anche far vedere per un altro esercizio che \(\displaystyle z_1\overline z_2+\overline z_1 z_2=2Re(z_1\overline z_2) \) però non arrivo da nessuna parte, avrei bisogno di un suggerimento...
Landau
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Re: Esercizi sui numeri complessi

Messaggioda billyballo2123 » 20/04/2018, 21:26

Landau ha scritto:La tesi segue dalla coniugazione di entrambi i membri di $P(z)=0$ e di$\overline{P}(z)=0$ rispettivamente. Può andare bene?

Corretto :smt023
Landau ha scritto:Dovrei anche far vedere per un altro esercizio che $z_1\overline{z}_2+\overline{z}_1z_2=2Re(z_1\overline{z}_2$) però non arrivo da nessuna parte, avrei bisogno di un suggerimento...

Suggerimento: $w+\overline{w}=2Re(w)$ :-D
billyballo2123
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Re: Esercizi sui numeri complessi

Messaggioda pilloeffe » 21/04/2018, 15:52

Ciao Landau,

Il metodo che ti ha suggerito billyballo2123 è senz'altro ottimo, anche perché arrivi subito al risultato.
Però non capisco perché scrivi
Landau ha scritto:non arrivo da nessuna parte

dato che anche procedendo direttamente è piuttosto semplice...
Infatti assumendo

$ z_1 = x_1 + iy_1 = Re(z_1) + i Im(z_1) \implies \bar{z}_1 = x_1 - iy_1 = Re(z_1) - i Im(z_1) $
$ z_2 = x_2 + iy_2 = Re(z_2) + i Im(z_2) \implies \bar{z}_2 = x_2 - iy_2 = Re(z_2) - i Im(z_2) $

si ha:

$ z_1\bar{z}_2+\bar{z}_1 z_2 = (x_1 + iy_1)(x_2 - iy_2) + (x_1 - iy_1)(x_2 + iy_2) = $
$ = x_1 x_2 - i x_1 y_2 + i x_2 y_1 + y_1 y_2 + x_1x_2 + i x_1 y_2 - i x_2 y_1 + y_1 y_2 = $
$ = 2x_1 x_2 + 2 y_1 y_2 = 2(x_1 x_2 + y_1 y_2) = 2 Re[(x_1 + iy_1)(x_2 - iy_2)] = 2 Re(z_1 \bar{z}_2) $

D'altronde

$ 2 Re(z_1 \bar{z}_2) = 2 Re[(x_1 + iy_1)(x_2 - iy_2)] = 2 Re[x_1 x_2 + y_1 y_2 + i(y_1 x_2 - x_1 y_2)] = 2(x_1 x_2 + y_1 y_2) $

per cui procedendo a ritroso dai passaggi precedenti si ritrova $ z_1\bar{z}_2+\bar{z}_1 z_2 $.
Anche se sono passati più di vent'anni, ricordo distintamente che per l'esame di Campi Elettromagnetici e Circuiti I di queste relazioni ce n'erano da dimostrare fino all'esaurimento... :wink:
pilloeffe
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Re: Esercizi sui numeri complessi

Messaggioda Landau » 21/04/2018, 20:56

Ah, che stupido, è una cosa ovvia in realtà :P grazie.
Landau
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