Portare fuori radice

Buonasera a tutti voi, ho deciso di registrarmi per togliermi un dubbio che non riesco a colmare. Un dubbio semplice.

Ho provato a chiedere a varie persone ma tutti mi rispondono in modo vago, vorrei capire la logica io

E cioè perché $sqrt(x^2)=|x|$.
Quel che non riesco a capire è perché, ad esempio non potrei scrivere semplicemente $sqrt(x^2)=x$ con x>0 D'altra parte a sx dell'uguale avrò una radice e per concordanza dei segni a destra dovrà essere positiva (cioè x positiva), no?
Perché devo infilarci quel modulo.

Spero possiate aiutarmi e sprecare un po' del vostro tempo dandomi l'impostazione di come voi ragioniate perché non ne posso più di compagni che mi dicono si fa così e stop.
Sono stupido ma vorrei capire!

Perché tu introduci una limitazione al dominio che non esiste in quanto $sqrt(x^2)$ è definita per tutti i numeri reali mentre la tua no.
Perché non va bene $sqrt(x^2)=x$? Perché un'uguaglianza deve avere entrambi i membri con lo stesso segno e siccome $x$ è un numero reale qualunque avresti una contraddizione quando $x<0$ mentre con $sqrt(x^2)=|x|$ l'equivalenza è sempre verificata.

Grazie per la celere risposta

In sostanza mi riconduco a una identità Per ogni x scrivendo √(x^2)=|x|, mentre seguendo il mio approccio in effetti limiterei il dominio.

Forse ora ci sono, grazie mille

[EDIT:]
Non riesco a capire però se potrei dimostrare che funziona, intendo, a intuito ora lo vedo, ma come faccio a dire che vale per ogni x in effetti?

Beh, puoi provare a risolvere questa $sqrt(x^2)=|x|$ per casi, "sciogliendo" il valore assoluto e verificare che sia un'identità; prova, penso sia un esercizio utile ...

$sqrt(x^2)=sqrt(|x^2|)=sqrt(|x*x|)=sqrt(|x|*|x|)=sqrt(|x|)*sqrt(|x|)=(sqrt(|x|))^2=|x|$

...and it was delicious!

Ma l'esercizio era per lui!

Comunque, carina, molto carina, non l'aveva vista prima ...

Ma non l’ho sciolto caso per caso

Nemmeno io l’avevo mai vista, stasera sono ispirato

Ho fatto caso per caso e dovrei esser riuscito, grazie della dritta.

Molto bella quella di Anto, mi piacerebbe un sacco aver la vostra capacità di pensiero