Insieme dei punti critici di funzione

[nico97it]

Buonasera, vi scrivo in quanto ho un problema nel determinare l'insieme dei punti critici della seguente funzione:

$ f(x,y,z)=log(1+x^2+(y-1)^2)*cos(z) $

Per trovare i punti critici determino il gradiente e pongo le componenti uguali a 0.

$ grad f=((2x*cos(z))/(1+x^2+(y-1)^2),(2(y-1)*cos(z))/(1+x^2+(y-1)^2),-sin(z)*log(1+x^2+(y-1)^2)) $

Faccio il sistema.

$ { ( (2x*cos(z))/(1+x^2+(y-1)^2)=0 ),( (2(y-1)*cos(z))/(1+x^2+(y-1)^2)=0 ),( -sin(z)*log(1+x^2+(y-1)^2)=0 ):} $

I denominatori delle prime due equazioni sono sempre diversi da zero in quanto ad 1 sono sommati due quadrati, quindi problemi di esistenza dei denominatori non ci sono. Mi concentro sui numeratori e trovo le soluzioni che soddisfano ciascuna equazione del sistema.

$ { ( 2x*cos(z)=0 ),( 2(y-1)*cos(z)=0 ),( -sin(z)*log(1+x^2+(y-1)^2)=0 ):} $

$ { ( x=0 vv z=pi/2+kpi ),( y=1vvz=pi/2+kpi ),( z=kpi vv (x=0^^ y=1 )):} $

Il mio problema ora resta proprio su come determinare e trovare le soluzioni comuni. Come posso fare? Potete spiegarmi un metodo per poter risolvere questi sistemi? Non capisco proprio come raggiungere la conclusione e quindi finire l'esercizio, ovvero scrivere l'insieme dei punti critici.

[billyballo2123]

Un metodo generale per risolvere i sistemi non saprei... ogni esercizio è particolare
Però questo si può risolvere così: supponiamo che $z=\pi/2+k\pi$. Allora si ha che:
- la prima equazione è soddisfatta per ogni valore di $x$ e di $y$.
- la seconda equazione è soddisfatta per ogni valore di $x$ e di $y$.
- la terza equazione è soddisfatta se e solo se $x=0$ e $y=1$.
Se invece $z=k\pi$, allora si ha che:
- la prima equazione è soddisfatta se e solo se $x=0$.
- la seconda equazione è soddisfatta se e solo se $y=1$.
- la terza equazione è soddisfatta per ogni valore di $x$ e di $y$.
Se invece $z$ è diverso da qualunque dei valori precedenti, allora si ha che:
- la prima equazione è soddisfatta se e solo se $x=0$.
- la seconda equazione è soddisfatta se e solo se $y=1$.
- la terza equazione è soddisfatta se e solo se $x=0$ e $y=1$.

Quindi qualunque sia il valore di $z$, $x=0\wedge y=1$ è condizione necessaria e sufficiente affinché tutte e tre le equazioni siano soddisfatte.

[nico97it]

Come mai come soluzione finale hai preso solo quella per z diverso dagli altri due valori e non hai preso le altre? Scusa se la domanda potrà sembrarti banale.

[nico97it]

Potresti spiegarmi meglio come sei giunto alla conclusione?

[gio73]

ciao
ho provato a ragionare sulla funzione data senza fare tanti calcoli
proviamo a conrontarci?

[billyballo2123]

Come mai come soluzione finale hai preso solo quella per z diverso dagli altri due valori e non hai preso le altre? Scusa se la domanda potrà sembrarti banale.

Nel primo caso supponiamo $z=\pi/2+k\pi$, nel secondo caso $z=k\pi$ e nel terzo caso $z\ne \pi/2+k\pi$ e $z\ne k\pi$. In questo modo abbiamo analizzato tutti i casi possibili. In ognuno di questi 3 casi, senza la condizione $x=0\wedge y=1$, il gradiente non si annulla (quindi $x=0\wedge y=1$ è condizione necessaria), e allo stesso tempo con $x=0$ e $y=1$ (indipendentemente dal valore di $z$) il gradiente si annulla (quindi $x=0\wedge y=1$ è condizione sufficiente).

[nico97it]

Perfetto, ora mi è molto più chiaro,grazie mille per la risposta. Questo tipo di ragionamento, in linea di massima, è quello che bisogna applicare per risolvere questa tipologia di sistemi? Ovvero fare tutti i casi possibili e poi estrapolare le soluzioni necessarie e sufficienti?

[billyballo2123]

Mi verrebbe da dirti di sì
Io risolverei così

[nico97it]

Ottimo, grazie.

[billyballo2123]