Buonasera, vi scrivo in quanto ho un problema nel determinare l'insieme dei punti critici della seguente funzione:
$ f(x,y,z)=log(1+x^2+(y-1)^2)*cos(z) $
Per trovare i punti critici determino il gradiente e pongo le componenti uguali a 0.
$ grad f=((2x*cos(z))/(1+x^2+(y-1)^2),(2(y-1)*cos(z))/(1+x^2+(y-1)^2),-sin(z)*log(1+x^2+(y-1)^2)) $
Faccio il sistema.
$ { ( (2x*cos(z))/(1+x^2+(y-1)^2)=0 ),( (2(y-1)*cos(z))/(1+x^2+(y-1)^2)=0 ),( -sin(z)*log(1+x^2+(y-1)^2)=0 ):} $
I denominatori delle prime due equazioni sono sempre diversi da zero in quanto ad 1 sono sommati due quadrati, quindi problemi di esistenza dei denominatori non ci sono. Mi concentro sui numeratori e trovo le soluzioni che soddisfano ciascuna equazione del sistema.
$ { ( 2x*cos(z)=0 ),( 2(y-1)*cos(z)=0 ),( -sin(z)*log(1+x^2+(y-1)^2)=0 ):} $
$ { ( x=0 vv z=pi/2+kpi ),( y=1vvz=pi/2+kpi ),( z=kpi vv (x=0^^ y=1 )):} $
Il mio problema ora resta proprio su come determinare e trovare le soluzioni comuni. Come posso fare? Potete spiegarmi un metodo per poter risolvere questi sistemi? Non capisco proprio come raggiungere la conclusione e quindi finire l'esercizio, ovvero scrivere l'insieme dei punti critici.