Esercizi integrali impropri prima specie

Messaggioda Reyzet » 21/04/2018, 08:02

Ciao a tutti ho preso dal mio libro alcuni esercizi sugli integrali impropri di prima specie che abbiamo fatto da poco, li ho risolti solo parzialmente. Qualcuno mi potrebbe dare una mano?

1)Sia F definita su intervallo non limitato superiormente e chiuso a sinistra, non negativa e sommabile tale che esista $lim_{x \to +\infty}f(x)=L$, provare che il limite è 0.

Ho osservato che il limite è equivalente al limite di $f/1$, 1 non è sommabile, ma integrabile e positiva, dunque per corollari del criterio del confronto se L>0 f e 1 hanno lo stesso carattere e ciò è falso per HP, se invece il limite fosse infinito si avrebbe che f ha la stesso carattere di g, ed è falso. Allora L=0. È giusto?

2)Sotto le stesse ipotesi (f non negativa e sommabile) dire se esiste o non esiste il limite di f per x che tende a +$\infty$.

Qui non so come muovermi, se il limite esiste da 0 per ciò che si è visto prima, ma non capisco come concludere..(intuitivamente penso esista)

3) studiare la sommabilità e la assoluta sommabilità di $f(x)=sin(x^2)$.

Anche qui ho provato che f non è assolutamente sommabile, ma non riesco a dire nulla sulla sommabilità di f (non riesco a calcolare primitive).

Grazie dell'aiuto :D
Reyzet
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Re: Esercizi integrali impropri prima specie

Messaggioda billyballo2123 » 21/04/2018, 18:54

Per il punto 1) io procederei per assurdo: supponiamo $L>0$. Allora esiste $t\in\mathbb{R}$ tale che $f(x)>L/2$ per ogni $x>t$. Ma allora
\[
\int_a^{+\infty}f(x)dx=\int_a^tf(x)dx+\int_t^{+\infty}f(x)dx\geq\int_a^tf(x)dx+\int_t^{+\infty}\frac{L}{2}dx=+\infty,
\]
che è assurdo.
Per il punto 2) la risposta è che non si può dire a priori che il limite esista. Ad esempio basta considerare la funzione $f:[1,+\infty)\to \mathbb{R}$ definita come
\[f(x)=
\left\{
\begin{matrix}
1 & \text{se } x\in\mathbb{N} \\
\frac{1}{x^2} & \text{altrimenti}
\end{matrix}
\right.
\]
È non negativa e sommabile, ma non ammette limite all'infinito.
Per il punto 3) ci credo che non hai trovato primitive :D
Le primitive di quella funzione non si possono esprimere mediante composizione di funzioni elementari.
Come hai dimostrato che non è assolutamente sommabile? :wink:
billyballo2123
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