Limite notevole col coseno, di nepero, ecc..

Messaggioda rossiii » 21/04/2018, 11:41

Salve,
Vorrei avere una conferma da voi altri.
Se dico che:
Non tutti i limiti notevoli sono delle equivalenze asintotiche (tutti quelli che non risultano 1), sto dicendo una castroneria?
Tutti gli altri che risultano != 1, come quello di nepero, o quello con il coseno da dove derivano?

Perdonatemi la banalità della questione.

Un altra cosa per favore. Aiutatemi a capire meglio questa affermazione:
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rossiii
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Re: Limite notevole col coseno, di nepero, ecc..

Messaggioda anto_zoolander » 21/04/2018, 12:44

Riguardo al limite di nepero si dimostra che la successione $(1+1/n)^n$ converge poiché monotona cresce e si definisce il suo limite come ‘$e$’

Per ‘quello con il coseno’ deriva da ‘quello del seno’

$lim_(x->0)(1-cosx)/x^2=lim_(x->0)[(1-cosx)(1+cosx)]/x^2*1/(1+cosx)$

$=lim_(x->0)(1-cos^2x)/x^2*1/(1+cosx)$

$=lim_(x->0)(sinx/x)^2*1/(1+cosx)$

Riesci a vedere quanto viene?
$sum_(n=0)^(infty)phi^(2n)=sum_(n=0)^(infty)(phi+1)^n=Phi$

$sum_(n=0)^(infty)|phi|^n=1+Phi$

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Re: Limite notevole col coseno, di nepero, ecc..

Messaggioda rossiii » 21/04/2018, 14:56

Ok molto interessante grazie, puoi aiutarmi invece a capire la frase che ho riportato?
rossiii
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Re: Limite notevole col coseno, di nepero, ecc..

Messaggioda pilloeffe » 21/04/2018, 15:24

Ciao rossiii,

rossiii ha scritto:puoi aiutarmi invece a capire la frase che ho riportato?

Non mi pare che la frase che hai riportato costituisca un fulgido esempio di chiarezza, ma la interpreto così:
siccome a numeratore c'è una differenza, ciò potrebbe indurre a sospettare che vi siano cancellazioni negli sviluppi in serie fra termini dello stesso ordine. D'altronde la verità è che, osservando il limite proposto e conoscendo i limiti notevoli principali, non credo che ad alcun individuo con un minimo di buon senso possa venire in mente di considerare $ sqrt{x} + 1 $ e poi sottrarre $cos(x) $, proprio perché (quasi) tutti hanno ben presente il limite notevole

$lim_{x \to 0} frac{1 - cos(x)}{x^2} = 1/2 \implies 1 - cos(x) $ \( \displaystyle \sim \) $ frac{x^2}{2} $ per $x \to 0 $

Perciò per il limite proposto

$ lim_{x \to 0} frac{sqrt{x} + 1 - cos(x)}{2 sqrt{x} + sin(x)} $

avrei fatto così:
N) a numeratore c'è un infinitesimo di ordine $1/2 $ (cioè $ sqrt{x} $) ed uno di ordine $2 $ (cioè $ 1 - cos(x)$): sopravvive quello di ordine $1/2 $;
D) a denominatore c'è un infinitesimo di ordine $1/2 $ (cioè $ sqrt{x} $) ed uno di ordine $1 $ (cioè $ sin(x)$): sopravvive quello di ordine $1/2 $

Perciò si ha:

$ lim_{x \to 0} frac{sqrt{x} + 1 - cos(x)}{2 sqrt{x} + sin(x)} = lim_{x \to 0} frac{sqrt{x}}{2 sqrt{x}} = 1/2 $
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Re: Limite notevole col coseno, di nepero, ecc..

Messaggioda rossiii » 21/04/2018, 16:39

Grazie mille piloeffe.
Tornando alla prima questione invece, è giusto dire che non tutti i limiti notevoli sono equivalenze asintotiche giusto?
rossiii
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Re: Limite notevole col coseno, di nepero, ecc..

Messaggioda pilloeffe » 22/04/2018, 07:06

rossiii ha scritto:Grazie mille pilloeffe.

Prego! :smt023
rossiii ha scritto:è giusto dire che non tutti i limiti notevoli sono equivalenze asintotiche giusto?

Non mi entusiasma il termine "equivalenze asintotiche" e non mi è molto chiaro a cosa ti serva in pratica questo tipo di affermazione, comunque non si riescono a trovare stime asintotiche se il risultato del limite è $0 $, non diverso da $1 $, ma conosco un solo limite notevole che fra l'altro non si usa praticamente mai:

$ lim_{x \to 0} frac{1 - cos(x)}{x} = 0 $

In tutti gli altri casi in cui il risultato del limite è un numero diverso da $ 0 $ per $ x \to 0 $ si hanno le stime asintotiche seguenti:

\begin{equation*}
\boxed{\sin(x) \sim x\\

1 - \cos(x) \sim \frac{1}{2}x^2\\

e^x - 1 \sim x\\

\ln(1 + x) \sim x\\

(1 + x)^p - 1 \sim p x\\}
\end{equation*}

che si generalizzano per $f(x) \to 0 $ (non ha importanza a cosa tende $x$) nelle seguenti:

\begin{equation*}
\boxed{\sin f(x) \sim f(x)\\

1 - \cos f(x) \sim \frac{1}{2}[f(x)]^2\\

e^{f(x)} - 1 \sim f(x)\\

\ln[1 + f(x)] \sim f(x)\\

[1 + f(x)]^p - 1 \sim p f(x)\\}
\end{equation*}
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Re: Limite notevole col coseno, di nepero, ecc..

Messaggioda rossiii » 22/04/2018, 16:07

Perfetto, ma non ho ancora dissipato tutti i miei dubbi. Puoi allora definirmi la differenza tra "stima asintotica" ed "equivalenza asintotica"?
Io so che per la seconda è tale se il limite del rapporto di due funzioni al tendere di \(\displaystyle x \) in \(\displaystyle x_0 \), è 1. Questo significa ad esempio che se \(\displaystyle x_0 \) è \(\displaystyle +\infty \) allora le due funzioni andranno a \(\displaystyle +\infty \) alla stessa "velocità", perché governate appunto, da un rapporto 1:1, dico bene o sto facendo un po di confusione?
Mentre cosa si intende si "stima asintotica"?
E' giusto dire allora che tutti i limiti notevoli sono stime asintotiche?
Poi un ultima cosa:
Quale sarebbe la stima che viene fatta con il limite di nepero?
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Re: Limite notevole col coseno, di nepero, ecc..

Messaggioda dissonance » 22/04/2018, 20:46

Sono profondamente d'accordo con pilloeffe e mi fa piacere che su questo forum ci sia gente così.
Non mi entusiasma il termine "equivalenze asintotiche" e non mi è molto chiaro a cosa ti serva in pratica questo tipo di affermazione
Sono ricettine da scuola superiore che purtroppo si propagano ad una velocità prossima a quella della luce. Ci vuole gente che ha un minimo di visione *reale* della matematica, non studenti che danno ripetizioni o gente impreparata che insegna, per eradicare queste cose.

Se uno *usa* la matematica, si accorge che l'importante nella realtà sono gli sviluppi di Taylor, che andrebbero appresi come riflessi condizionati.
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Re: Limite notevole col coseno, di nepero, ecc..

Messaggioda pilloeffe » 22/04/2018, 23:41

dissonance ha scritto:Sono profondamente d'accordo con pilloeffe e mi fa piacere che su questo forum ci sia gente così.

Ti ringrazio tantissimo dissonance, questa cosa che hai scritto mi piace molto: scritta poi da uno in gamba come te ancora di più... :smt023
@ rossiii:
ti spiego perché personalmente non mi piace il termine "equivalenza asintotica", che comunque si può trovare sui libri eh, intendiamoci (alcuni dei quali fra l'altro ho anch'io... :wink: ) perché è strettamente connesso a quello che ha scritto dissonance. Il termine equivalenza deriva dal tardo latino aequivalere, composto da aequus, cioè "uguale", e valere cioè "aver valore": ora, se penso per farti un esempio alla funzione $sin x$, per me essa "ha valore uguale" al proprio sviluppo di Taylor. Se comincio a fare delle stime, il che significa trascurare alcuni dei termini dello sviluppo in serie, peggioro la situazione; se poi mi fermo al primo ordine, cioè a $x$, sono in prima approssimazione. Quindi, anche se mi rendo conto che possa fare molto figo scrivere \( \displaystyle \sin x \sim x \) , in effetti sto scrivendo la peggiore stima possibile, stima che fra l'altro nei casi in cui si hanno cancellazioni non mi consente di risolvere il limite proposto: puoi trovare molti esempi di ciò che ti sto scrivendo su questo stesso forum, non solo fra i miei post ma anche fra quelli di molti altri. I limiti notevoli sono anch'essi approssimazioni al primo ordine: qualche volta sono sufficienti a risolvere i limiti proposti, ma qualche altra non bastano... :wink:
Concludo dicendo che lo strumento principe per la risoluzione dei limiti sono gli sviluppi di Taylor: poi per carità, anch'io appena posso faccio uso dei limiti notevoli perché comunque sono più semplici...
rossiii ha scritto:Quale sarebbe la stima che viene fatta con il limite di nepero?

Se ne è discusso ad esempio qui, ma non è che si usi un gran che:

$ lim_{n \to +\infty} n [e-(1+\frac{1}{n})^n] = e/2 $

Quindi si ha:

$ e-(1+\frac{1}{n})^n $ \( \displaystyle \sim \) $ frac{e}{2n} \qquad $ per $n \to +infty $
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Re: Limite notevole col coseno, di nepero, ecc..

Messaggioda anto_zoolander » 23/04/2018, 02:23

Fermo restando che Taylor sia l'approccio migliore, non sono d'accordo sulla disquisizione in merito all'utilizzo di 'equivalenza asintotica'. Secondo me c'è ben altro dietro questa frase e non si riduce banalmente alla sua etimologia

basta considerare l'insieme $RR^X:={f:X->RR | f$ \( \mathrm{funzione} \)$}$
se si considera di seguito l'insieme delle funzioni che si annullano in un punto e che si mantengono lontano da zero in almeno un suo intorno, la 'equivalenza asintotica' è di fatto una relazione di equivalenza, quindi non mi sembra così inutile.
$sum_(n=0)^(infty)phi^(2n)=sum_(n=0)^(infty)(phi+1)^n=Phi$

$sum_(n=0)^(infty)|phi|^n=1+Phi$

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