Limite notevole col coseno, di nepero, ecc..

[rossiii]

Mi sono arrabbiato dal momento in cui mi è stato detto di lasciar perdere.
Io mi sono anche scusato più volte di portare all'attenzione questione per voi così banali, ma non credevo banali tanto da non dover neanche essere considerate.
E poi detto francamente, perché dovrebbero essere banali? La stima asintotica è uno strumento che più volte il professore (Analisi1) ha usato, oltre al fatto che costituisce le fondamenta per gl'ordini di infinito/infinitesimo quindi non capisco proprio dove sia la banalità, che ci sia altro che mi sfugga?

..A volte, si dice che \(f(x)\sim g(x)\) se il limite del rapporto esiste finito ed è uguale a un numero diverso da \(0\), conformemente al fatto che si tratta di una definizione poco importante e che quindi ciascuno se la modella come preferisce. In ogni caso, che il limite sia \(1\) o un altro numero non nullo non cambia nulla dal punto di vista qualitativo.

Come non cambia? Prendiamo ad esempio il caso di $1-cos(x)$. Per ciò che hai scritto esso dovrebbe equivalere a $x^2$, ma questo è falso perché sappiamo essere equivalente a $\frac{1}{2}x^2$.
Quindi in linea di massima cambia eccome perché se il rapporto è diverso da $1$, la funzione $f(x)$ non sarà "equivalente" a $g(x)$ ma piuttosto sarà equivalente a $k * g(x)$, e questo cambia il risultato eccome!
Perché non scrivere la definizione come:

\[f(x)\sim k \cdot g(x), \quad x\to x_0 \ \iff\ \lim_{x\to x_0} \frac{f(x)}{g(x)}=k \neq 0\]

[dissonance]

Per quello ti dicevo di riportare la definizione del tuo libro o del tuo professore, ma non lo hai mai fatto, e le ho considerate entrambe.

Quanto alla banalità, il mio messaggio non è che \(\sim\) è una cosa "banale", o che è troppo facile per me, o altre simili fesserie che non mi sogno neanche di pensare. Il messaggio del mio post precedente è che la teoria relativa alla relazione \(\sim\) è contenuta interamente nel mio post precedente. Si tratta quindi di una cosa che può essere ricostruita rapidamente partendo dalla sola definizione, invece che imparando le proprietà della relazione \(\sim\). Il mio consiglio è, quindi, quello di ragionare sempre direttamente sulla definizione, dando la precedenza all'algebra dei limiti, ai limiti notevoli e agli sviluppi di Taylor nella classificazione mentale degli strumenti destinati al calcolo dei limiti.

Quindi in linea di massima cambia eccome

Certamente. Ma non è un cambio così importante, nel senso che se due funzioni sono equivalenti nel senso "largo", allora a patto di riscalarne una esse saranno equivalenti nel senso "stretto". E' questo che intendevo quando parlavo di "qualitativamente".

[rossiii]

Non l'ho fatto perché la definizione di stima asintotica non ce l'ho.
Ho solo la definzione di equivalenza asintotica che coincide con quanto scritto da te.
Io ragiona da studente, se mi si dice che i limiti notevoli sono equivalenze asintotiche e poi invece soltanto alcuni (seppur sono la maggior parte) si sposano con la definzione di equivalenza asintotica, due domande me le faccio (oltre al fatto che la presenza del limite di Nepero mischia ancor più le carte).

Se tu mi dici che due funzioni sono asintoticamente equivalente se il limiti per un punto del loro rapporto è 1 (così recita la definzione), poi mi dici che tutti i limiti notevoli sono equivalenze asintotiche, e poi io vado a controllare e mi trovo davanti il limite notevole con il coseno che è 1/2 e mi trovo davanti il limite notevole di Nepero che proprio sembra non ci azzecchi nulla, allora credo di avere il diritto di interrogarmi sulla questione.
Poi inoltre @pilloeffe mi ha parlato di STIMA asintotica e sono andato completamente nel pallone.

Per me da studente e profano le cose sono:
1) o quella definzione dice il falso.
2) o falso è il fatto che TUTTI i limiti notevoli siano delle equivalenze asintotiche.
3) o una definzione più chiara ed universale sarebbe quella sviluppata (con le mie evidenti doti da matematico di fama mondiale) da me. Se mi basassi su questa allora, ritornebbe il fatto che TUTTI i limiti notevoli (ad eccezione sempre del maledetto limite di Nepero) sono equivalenze asintotiche.
Come vedi sono nella più totale confusione ora
Per favore riportami sulla retta via!

[Vulplasir]

Eh, quando "l'analisi" all'università è nient'altro che matematica di quinta liceo, i problemi e i dubbi sono questi

[Vulplasir]

I limiti...ma che si possono insegnare i limiti all'università... la sezione di analisi è diventata la sezione dei limiti notevoli.

[gugo82]

Moderatore: xdom

@Vulplasir: Non mi pare il caso di scrivere cavolate simili. Se non ti piace un thread, non intervenire.

Uomo avvisato.

[pilloeffe]

Ciao rossiii,

Caspita, vedo che in mia assenza il thread è stato visitato parecchio...
Provo a rispondere se non proprio a tutte almeno ad alcune delle tue domande.

Faccio fatica a riconoscere il limite notevole di nepero in quello riportato da te.

Qui stai facendo il furbo: il limite di Nepero, se così lo vogliamo chiamare (il simbolo $e$ dovrebbe suggerirti che in realtà quel numero era già ben noto a Eulero), si riconosce benissimo...
Ok, allora faccio il furbo anch'io:

$ lim_{n \to \pm infty} frac{(1 + 1/n)^n}{e} = lim_{n \to \pm infty} frac{f(n)}{g(n)} = 1 \implies (1 + 1/n)^n $ \( \displaystyle \sim \) $ e $ per $n \to \pm infty $

Limite notevole e stima asintotica. Si identifica con la definizione riportata sul tuo libro? Probabilmente sì.
Ti serve a qualcosa? Probabilmente no. Forse ti serve un po' di più quello che ti ho riportato nel mio post precedente.

Consideriamo il limite:
$ lim_{x \to 0} (2/3−frac{sin(x)}{x}) $
stima o limite notevole? Perché?

Indifferente: puoi usare l'una o l'altro, il risultato è sempre $-1/3 $

Ho capito il perché un termine sopravvive rispetto ad un altro ma, come sei riuscito ad avere queste conclusione così rapide sugli infinitesimi?

Riguardati la definizione di infinitesimi dello stesso ordine. Non sono certo un fenomeno, in pratica ho solo usato ben noti limiti notevoli.

con cosa potrei stimare $(1+1/f(x))^{f(x)}$

Già visto sopra:

$ lim_{f(x) \to \pm infty} frac{(1 + 1/f(x))^{f(x)}}{e} = lim_{f(x) \to \pm infty} frac{n(x)}{d(x)} = 1 \implies (1 + frac{1}{f(x)})^{f(x)} $ \( \displaystyle \sim \) $ e $ per $f(x) \to \pm infty $

Anche i limiti notevoli che non risultano $1$ possono essere facilmente ricondotti alla definizione che probabilmente hai sul tuo testo. Esempi:

$ lim_{x \to 0} frac{1 - cos(x)}{x^2} = 1/2 \implies lim_{x \to 0} frac{1 - cos(x)}{x^2/2} = 1 \implies 1 - cos(x) $ \( \displaystyle \sim \) $ 1/2 x^2 $ per $x \to 0 $

$ lim_{x \to 0} frac{(1 + x)^p - 1}{x} = p \implies lim_{x \to 0} frac{(1 + x)^p - 1}{px} = 1 \implies (1 + x)^p - 1 $ \( \displaystyle \sim \) $ p x $ per $x \to 0 $

Ciò detto, concordo con dissonance sul fatto che l'argomento non meriti così tanta importanza. Però se hai ancora qualche dubbio siamo qui...

[rossiii]

Non mi interrogavo sul fatto se mi servisse o meno, ne se fosse interessante, noioso, o soltanto speculativo. Nel mio ultimo intervento ho spiegato molto bene da dove vengono tutti i miei dubbi.
Comunque arrivati a questo punto, per me è un inesattezza parlare dei limiti notevoli e intenderli TUTTI indiscriminatamente come equivalenze asintotiche, semplicemente perché questo è falso. Io non sarà una cima, ma la definizione di equivalenza asintotica è chiara come chiaro è il fatto che non tutti i limiti notevoli la rispettano.
Il fatto che si possano ricondurre alla definizione cambiando il risultato non li rende tali. Quindi sinceramente non capisco perché riferirsi a loro per ricavare le stime asintotiche.
Comunque ti ringrazio davvero tanto per la pazienza dimostratami @pilloeffe

[pilloeffe]

Il fatto che si possano ricondurre alla definizione cambiando il risultato

Occhio che questo non è vero, non si è cambiato il risultato, ma solo scritto diversamente il limite notevole...
Dato che si ha

$ lim_{n \to +\infty} (1 + 1/n)^n = e $

nulla ci impedisce di dividere primo e secondo membro per un numero diverso da zero come $ e$:

$ lim_{n \to +\infty} (1 + 1/n)^n = e \implies frac{ lim_{n \to +\infty} (1 + 1/n)^n}{e} = e/e \implies lim_{n \to +\infty} frac{(1 + 1/n)^n}{e} = 1 $

Poi se mi dici che scritto in quest'ultima forma non l'hai mai visto e/o ti serve a poco, questo è un altro discorso e potrei anche essere d'accordo...

[gugo82]

Comunque arrivati a questo punto, per me è un inesattezza parlare dei limiti notevoli e intenderli TUTTI indiscriminatamente come equivalenze asintotiche, semplicemente perché questo è falso. Io non sarà una cima, ma la definizione di equivalenza asintotica è chiara come chiaro è il fatto che non tutti i limiti notevoli la rispettano.

“Falso” non è una categoria assoluta in Matematica, ma va sempre rapportata ad una definizione o ad un sistema di assiomi.
Quindi, quello che puoi dire in questo caso è: stante la definizione che ho, non tutti i limiti notevoli sono interpretabili come equivalenze asintotiche.

Il fatto che si possano ricondurre alla definizione cambiando il risultato non li rende tali.

Perché no?
È ovvio che \(1 - \cos x \sim \frac{1}{2}\ x^2\) stante la tua definizione... Quindi? Dov’è il problema?
Basta modificare la definizione, il che non costituisce reato.

Quindi sinceramente non capisco perché riferirsi a loro per ricavare le stime asintotiche.

Perché si può e funziona.


P.S.: Ma comunque:
\[
\lim_{x\to +\infty} \left( 1 + \frac{1}{x}\right)^x = e \quad \Leftrightarrow\quad \lim_{x\to +\infty} x\ \log\left( 1 + \frac{1}{x}\right) = 1\; ,
\]
quindi anche il limite di Nepero fornisce un’equivalenza asintotica, ma per un’altra funzione.