Limite notevole col coseno, di nepero, ecc..

[rossiii]

..È ovvio che \(1 - \cos x \sim \frac{1}{2}\ x^2\) stante la tua definizione... Quindi? Dov’è il problema?
Basta modificare la definizione, il che non costituisce reato.

Il problema era che coincideva con la mia, non con quella universalmente condivisa!

stante la definizione che ho, non tutti i limiti notevoli sono interpretabili come equivalenze asintotiche.

Che è ESATTAMENTE il motivo per il quale ho aperto questa discussione. Grazie per aver riassunto 4 pagine in una frase. Evidentemente il mio modo di espormi fa acqua da tutte le parti.

Occhio che questo non è vero, non si è cambiato il risultato, ma solo scritto diversamente il limite notevole...
Dato che si ha

$ lim_{n \to +\infty} (1 + 1/n)^n = e $

nulla ci impedisce di dividere primo e secondo membro per un numero diverso da zero come $ e$:

$ lim_{n \to +\infty} (1 + 1/n)^n = e \implies frac{ lim_{n \to +\infty} (1 + 1/n)^n}{e} = e/e \implies lim_{n \to +\infty} frac{(1 + 1/n)^n}{e} = 1 $

Quando matematica e magia nera si incontrano! Scherzo ovviamente! Grazie mille @piloeffe per aver avuto la pazienza di evidenziarmi anche questa banalità.
Non credo mi servisse altro che evidenziare una cosa così banale. A questo punto sono convinto nel dire che tutti i limiti notevoli sono equivalenze asintotiche, senza ombra di dubbio @pilloeffe mi hai convinto.
Rimane comunque il fatto che è necessario grattare un pelo la superficie per accorgersene e che se non te lo spiega nessuno, ogni dubbio è lecito (per i tonti come me si intende ovvio!)

[pilloeffe]

Quando matematica e magia nera si incontrano!

Beh, magari proprio magia nera no, però è vero che non concepisco la Matematica come scritta sulla pietra ed immutabile, ma fluida come l'acqua. In questo caso potevi disporre di due strade:
1) tenerti la definizione che compare sul tuo testo ed adattare i limiti notevoli di conseguenza, oppure
2) modificare la definizione nel senso già citato da dissonance e gugo82 in modo da farci rientrare i limiti notevoli scritti nel consueto modo che ben conosci.
Non è che la sostanza cambi, perché alla fin fine le stime asintotiche che ottieni e che in pratica si usano sono quelle che ti ho riportato nei riquadri di uno dei miei post iniziali.

ogni dubbio è lecito (per i tonti come me si intende ovvio!)

Beh, adesso non ti sminuire troppo, all'inizio è normale avere molti dubbi, specialmente se uno ci ragiona su quello che legge...
Concludo con due citazioni:
"Solo gli stupidi non hanno dubbi!". "Ne sei sicuro?". "Certo, non ho dubbi!". (Luciano De Crescenzo)
Solo due cose sono infinite, l'universo e la stupidità umana, e non sono sicuro della prima.
(attribuita ad Albert Einstein)