[EX] Carattere di una serie

[gugo82]

Un esercizio per chi prepara Analisi I.

***

Esercizio:

Studiare il carattere della serie:
\[
\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{1+q+\cdots +q^n}
\]
al variare del parametro $q in RR\setminus \{-1\}$.

[anto_zoolander]

Anche se l'ho passato, metto una soluzione in spoiler che mi è sembrata carino.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

intanto $lim_(k-> +infty) sum_(n=0)^(k)1/(sum_(i=0)^(n)q^i)=lim_(k->+infty)(q-1)sum_(n=0)^(k)1/(q^(n+1)-1)$

se $|q|<1$ allora il termine generico non va a zero.

per $q>1$ la serie è a termini positivi e quindi

$(1/(q^(n+2)-1))/(1/(q^(n+1)-1))=(q^(n+1)-1)/(q^(n+2)-1)=1/q* (q^(n+2)-q)/(q^(n+2)-1)=1/q*(1-(q-1)/(q^(n+2)-1))->1/q in(0,1)$

per $q<-1$ la serie è a segni alterni

$1/(q^(n+1)-1)=(-1)^(n+1)*1/((-q)^(n+1)-(-1)^(n+1))=(-1)^(n+1) a_n $

$a_n ->0$ ed è a termini positivi e decrescente, quindi converge per Leibnitz.

o equivalentemente $(-1)^(n)b_n$ con $b_n=-a_n$ che è a termini negativi e crescente.