Continuità in due variabili

[Berker]

Come faccio a mostrare che questa funzione non è continua nei punti $y_0 =-x_0 \ne 0$ ?

\(\displaystyle f(x,y)=
\begin{cases}
(y-x) \sin \bigl( \frac{1}{x^2 -y^2} \bigr) & (x,y)\neq(0,0) \\
0 & (x,y)=(0,0)
\end{cases} \)

[gio73]

direi che lungo la bisettrice di II e IV quadrante la funzione perde di significato perchè si annulla il denominatore dell'argomento del seno

[Berker]

Ma allore perchè non anche nel I e III quadrante?

[gio73]

si anche la bisettrice di I e III quadrante ma tu hai chiesto

Come faccio a mostrare che questa funzione non è continua nei punti $y_0 =-x_0 \ne 0$ ?

[Berker]

Nel pdf delle soluzioni sul sito del mio prof viene detto che la funzione è continua in tutto $\mathbb{R}^2$ tranne che nei punti nella forma $y_0=-x_0 \ne 0$. Perchè è vero ciò?

(Ora la domanda è più chiara)

[gio73]

non saprei
secondo me il denominatore si annulla anche quando $y=x$

[dissonance]

Ma se \(y=x\) c'è il numeratore che si annulla. E quindi, anche se a rigore la funzione non è definita, è prolungabile per continuità. Questo chiaramente va dimostrato calcolando il limite.

[gio73]

ma nell'orioginale c'è scritto che la funzione vale 0 nell'origine (solo nell'origine)
non avrebbe dovuto scrivere che vale 0 lungo la bisettrice di primo e terzo quadrante?
$f(x,y)=0 if y=x$

[dissonance]

Non \(0\) ma \(1\), perché
\[
\lim_{t\to 0} \frac{\sin t}{t}=1.\]

[gio73]

scusa dissonance
non capisco, c'è qualcosa che non mi torna...
proviamo a sostituire una coppia di valori che si avvicinano abbastanza alla retta $y=x$
scegliamo $y=1$ e $x=1,01$ e proviamo a fare i conti con la funzione data

$f(x;y)=(y-x)sen(1/(x^2-y^2))$

$f(1,01;1)=(1-1,01)sen(1/(1,0201-1))=-0,01*sen(1/(0,0201))=-0,01*sen(10000/201)=-0,01*sen(49,75)=-0,01*(-0,49)=0,0049$