derivata di funzione composta con logaritmo come esponente

[ely92]

Salve ho una derivata all'apparenza molto semplice:
\(\displaystyle (x^2+1) \) elevato al log(x).
la soluzione del libro e:
(x^2+1)^log(x) ((log(x^2+1)/x)+(2xlog(x))/x^2+1))

xke???
essendo una funzione composta il risultato non dovrebbe essere:
(((x^2+1)^log(x))/x)2x??

[Summerwind78]

Ciao


io ti suggerirei di vederla in questo modo.

La funzione di partenza è

$(x^2 + 1) ^(ln(x))$

che in effetti è un po' ostica da derivare

usando la proprietà del logaritmi secondo la quale

$a^b = e^(b\cdot ln(a))$

ottieni che

$(x^2 + 1) ^(ln(x)) = e^(ln(x) \cdot ln(x^2 + 1)$

a questo punto hai una situazione evidente di derivata di funzione di funzione dove la prima funzione da derivare è l'esponenziale

e la seconda funzione da derivare è il prodotto di funzioni che hai come esponente.

Da qui in poi tu lasci andare avanti...

se hai ancora dubbi chiedi pure

[gio73]

ciao ely
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[pilloeffe]

Ciao ely92,

La funzione proposta è la seguente:

$y = (x^2 + 1)^{ln x} $

che è del tipo $y = [f(x)]^{g(x)} $. Se $f(x) > 0 $ e $f(x) $ e $ g(x) $ sono derivabili, come nel caso della funzione proposta, esiste una regola per il calcolo della derivata:

$ y' = [f(x)]^{g(x)} [g'(x) ln[f(x)] + frac{g(x)f'(x)}{f(x)}] $

Nel caso in esame si ha

$ y' = (x^2 + 1)^{ln x} [frac{ln(x^2 + 1)}{x} + frac{2x ln x}{x^2 + 1}] $

che mi pare corrisponda alla soluzione riportata sul tuo libro. Dato che la regola sopra riportata non è semplice da ricordare, tipicamente si procede per via diretta, "ricostruendo" la regola di volta in volta. A tal fine, o si procede come ti ha già scritto Summerwind78, oppure anche nel modo seguente:

$y = (x^2 + 1)^{ln x} \implies ln y = ln (x^2 + 1)^{ln x} \implies ln y = ln x \cdot ln(x^2 + 1) $

Derivando si ha:

$ 1/y cdot y' = 1/x \cdot ln(x^2 + 1) + frac{2x}{x^2 + 1} \cdot ln x $

$frac{y'}{y} = frac{ln(x^2 + 1)}{x} + frac{2x ln x}{x^2 + 1} \implies y' = y [frac{ln(x^2 + 1)}{x} + frac{2x ln x}{x^2 + 1}] \implies $
$ \implies y' = (x^2 + 1)^{ln x} [frac{ln(x^2 + 1)}{x} + frac{2x ln x}{x^2 + 1}] $

ritrovando naturalmente lo stesso risultato già scritto sopra.

[Summerwind78]

Ciao ely92,

oppure anche nel modo seguente:

$ y = (x^2 + 1)^{ln x} \implies ln y = ln (x^2 + 1)^{ln x} \implies ln y = ln x \cdot ln(x^2 + 1) $

Derivando si ha:

$ 1/y cdot y' = 1/x \cdot ln(x^2 + 1) + frac{2x}{x^2 + 1} \cdot ln x $

$ frac{y'}{y} = frac{ln(x^2 + 1)}{x} + frac{2x ln x}{x^2 + 1} \implies y' = y [frac{ln(x^2 + 1)}{x} + frac{2x ln x}{x^2 + 1}] \implies $
$ \implies y' = (x^2 + 1)^{ln x} [frac{ln(x^2 + 1)}{x} + frac{2x ln x}{x^2 + 1}] $

ritrovando naturalmente lo stesso risultato già scritto sopra.

Interessante questo metodo!

Non ci avevo pensato.

Ne prenderò spunto per la prossima volta