I tecnicismi che fatichi a comprendere
potrebbero essere necessari a capire qual è il significato del teorema di Stokes, non credi?
Idealmente, c'è un solo risultato in tal senso: il teorema di Stokes.
Il senso geometrico del teorema di Stokes, moralmente, è che esiste una dualità tra due operatori lineari (spero che nessuno obietti al fatto che gli operatori lineari pertengono alla geometria): da una parte il rotore, \(\nabla\times\_\ \), definito dai campi vettoriali di \(\mathbb R^3\) in sé stessi, e dall'altra l'operazione che prende una varietà \(M\) e ne considera il bordo \(\partial M\); poco formalmente, ma in maniera abbastanza intuitiva, l'operazione \(\partial\) è "lineare" nel senso che il bordo di un'unione disgiunta è l'unione dei bordi, e la funzione che manda la coppia \((M,F)\) in \(\langle M,F\rangle=\int_M F\cdot d\mu_M\) è "bilineare" nel senso che l'integrale è additivo sulle componenti connesse disgiunte di \(M\), e (notoriamente) lineare in \(F\). Ora, affinché \(\partial\) e \(\nabla\times\_\ \) siano operatori aggiunti uno all'altro è necessario che
\[
\langle \partial M, F \rangle = \langle M,\nabla\times F \rangle
\] Il teorema di Stokes coincide con questa affermazione.
Nel caso delle $p$-forme differenziali -un linguaggio molto più naturale ed equivalente a quello dei campi vettoriali in dimensione $3$- puoi trovare una dimostrazione del teorema di Stokes diversa da quella che propinano ai fisici nel libro di Abate e Tovena, al Teorema 4.5.12. In quel contesto, l'operazione di derivazione esterna di una forma, definita dal Teorema 4.4.1, definisce una applicazione che per $p=0$ coincide con il differenziale totale, \(f\mapsto \sum \frac{\partial f}{\partial x_j}\text{d}x^j\).
E' un ottimo esercizio tentare di rendere esplicita la connessione tra forme e campi vettoriali in dimensione $p=0,...,3$: quello che si ottiene è una sequenza
\[
\begin{CD}
0 @>>> C^\infty(X,\mathbb R) @>J>> C^\infty(X,\mathbb R^3) @>\nabla\times\_>> C^\infty(X,\mathbb R^3) @>\nabla\cdot\_>> C^\infty(X,\mathbb R) @>>> 0
\end{CD}
\] che è un
complesso (la composizione di due mappe contigue è costantemente zero).
Il "teorema di Gauss-Green" ora è un caso particolare di questo risultato: se $D\subseteq \mathbb R^2$ è un dominio (compatto) di bordo $\partial D = S$, allora $S$ ammette una parametrizzazione $\gamma : [0,1]\to S$ di tale bordo; a questo punto, ogni coppia di funzioni (almeno $C^1$ a tratti) $f,g$ definisce un campo vettoriale $F = (f,g)$ (la forma associata è $\omega = f\text{d}x+g\text{d}y$) tale per cui
\[
\int_\gamma f\text{d}x+g\text{d}y = \iint_D \left(\frac{\partial g}{\partial x} - \frac{\partial f}{\partial y}\right)\text{d}x\text{d}y
\]
- "Everything in Mathematics that can be categorized, is trivial" (P. J. Freyd), which should be understood as: "category theory is good ideas rather than complicated techniques".
- "I always disliked Analysis" (P. J. Freyd)
ho provato a studiare dai libri ma sono molto articolati e usano giustamente tecnicismi che però io fatico a comprendere 
