Salve ragazzi. Ci tengo a tenervi sempre sul pezzo
Il dubbio che vorrei dissipare oggi è il seguente:
Facendo gli sviluppi di Tayolor (centrati in 0) di funzioni composte mi ritrovo spesso a grattarmi la testa per quanto riguarda gli o-piccoli. Ad esempio (sviluppo fino al 4° ordine) di $ln(cos(x))$:
$ln(cos(x))$
$ln(1-x^2/2+x^4/24+o(x^5))$
$-x^2/2+x^4/24+o(x^5)-x^4/8+o(x^7)+o((-x^2/2+x^4/24+o(x^5))^2)$
(ho volutamente omesso subito i termini maggiori di $x^4$)
Ora, il termine che mi da fastidio è il seguente:
$o((-x^2/2+x^4/24+o(x^5))^2)$
come mi devo comportare?
E' giusto per esempio dire che per definizione $x^6=o(x^5)$ per $x->0$ e scrivere:
$o((-x^2/2+x^4/24+x^6)^2)$
e poiché \(\displaystyle x^4 \sim (-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+x^6)^2 \) per $x->0$
si ha $o(x^4)=o((-x^2/2+x^4/24+o(x^5))^2)$
e quindi
$ln(cos(x)) = ln(1-x^2/2+x^4/24+o(x^5))=-x^2/2+x^4/24+o(x^5)-x^4/8+o(x^7)+o(x^4)=-x^2/2-x^4/12+o(x^4)$
Questo ragionamento è corretto?
Voi come avreste fatto?