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Ciao a tutti, ho problemi nello studio della convergenza dei seguenti integrali impropri.
Siano $A=[0,1]\times[1,+\infty)$ e $B=[1,+\infty)\times[1,+\infty)$ e siano
$f_1(x,y)=e^{-x}$
$f_2(x,y)=ye^{-x}$
$f_3(x,y)=e^{-x^2-y^3}$
Determinare se tali funzioni sono integrabili in senso improprio negli insiemi A e B.

Come faresti tu?

gugo82 ha scritto:Come faresti tu?

Per $\int_A e^-x \ dxdy$ integrerei la funzione e poi passerei al limite per $y->+\infty$.
Per $\int_B e^-x \ dxdy$ passerei in polari ottenendo $e^{-\rho\cos\theta}$ e direi che converge, tuttavia non so come dimostrarlo.

Diciamo che il problema principale l'ho nell'insieme B perchè mi blocco

Innanzitutto, dovresti chiarire cosa intendi con "integrabile in senso improprio" nel caso di funzioni di più variabili... Poi vediamo di arrangiare qualcosa.

gugo82 ha scritto:Innanzitutto, dovresti chiarire cosa intendi con "integrabile in senso improprio" nel caso di funzioni di più variabili... Poi vediamo di arrangiare qualcosa.

http://pagine.dm.unipi.it/gobbino/Table ... 8_L043.pdf

Sostanzialmente che l'integrale improprio converge

Beh, ok.

Praticamente puoi scegliere una qualsiasi famiglia di insiemi limitati per invadere le due regioni.
Ad esempio, se $A_n = [0,1]xx[1,n]$ allora $f_k$ ($k=1,2$) è integrabile in $A$ se e solo se esiste finito il:
\[
\lim_n \iint_{A_n} f_k(x,y) \text{d} x\text{d} y\; ,
\]
e questo limite si calcola facile.
Analogamente, puoi invadere $B$ con $B_n=[1,n]^2$ e calcolare come sopra.

Ho escluso $f_3$ perché con un cambiamento di coordinate si vede che essa è impropriamente integrabile in tutto $RR^2$, quindi a maggior ragione lo è su $A$ e $B$.

Lebesgue ha scritto:

gugo82 ha scritto:Come faresti tu?

Per $\int_A e^-x \ dxdy$ integrerei la funzione e poi passerei al limite per $y->+\infty$.

Fallo un po', per favore. Che risultato trovi?

dissonance ha scritto: Che risultato trovi?

Trovo che diverge, quindi che la funzione non è integrabile in senso improprio in A.

Esatto, ma non c'era bisogno di fare nessun conto:
\[
\int_0^1\left(\int_0^\infty e^{-x}\, dy\right)dx = \underbrace{\int_0^1 e^{-x}\, dx}_{>0} \underbrace{\int_1^\infty \, dy}_{=\infty} = \infty.\]