Equazioni differenziali

[anto_zoolander]

Cerco una dispensa dove trovare questa affermazione nel caso in cui sia vera

sia $y:J->RR$ una funzione derivabile $n$ volte in $J$ e $F:RR^(n+1)->RR$ una funzione lineare, allora

$X={y:J->RR|F(y,y^((1)),...,y^((n)))=0}$

È un sottospazio di dimensione $n$ di $RR^(J)$

[killing_buddha]

Puoi dimostrarlo da solo, no? Se $y_1,y_2$ sono soluzioni, lo è $y_1+y_2$; se $y$ è soluzione, lo è \(\alpha\cdot y\). E' abbastanza ovvio dato che $F$ è lineare.

[anto_zoolander]

Questo l’ovvio, infatti mi riferivo maggiormente al fatto che la dimensione fosse uguale all’ordine massimo di derivazione

[gugo82]

Puoi dimostrarlo da solo, no? Se $y_1,y_2$ sono soluzioni, lo è $y_1+y_2$; se $y$ è soluzione, lo è \(\alpha\cdot y\). E' abbastanza ovvio dato che $F$ è lineare.

Infatti, il problema non è dimostrare che quello delle soluzioni sia un sottospazio, ma che abbia dimensione uguale all'ordine della EDO.

@anto: Considera i PdC con condizioni iniziali date dai vettori della base canonica di $RR^n$. Le soluzioni di tali PdC sono indipendenti (hanno il wronskiano non nullo!) e generano lo spazio delle soluzioni. :wink:

[killing_buddha]

Ma è vero anche per coefficienti reali e non complessi?

[gugo82]

Dov'è scritto che i coefficienti sono complessi?

E comunque sì. È una proprietà di base delle EDO lineari... Vero che non hai mai fatto un conto in vita tua (come non chiedi scusa), ma almeno questo credevo ti fosse noto.

[killing_buddha]

Ah certo, perché poi c'è quel trucco per rendere reali le soluzioni legate ad autovalori complessi, e per gestire le soluzioni ripetute.

[gugo82]

Ah certo, perché poi c'è quel trucco per rendere reali le soluzioni legate ad autovalori complessi, e per gestire le soluzioni ripetute.

Nessun trucco.
Una EDO reale, quando le ha, ha soluzioni reali.

[gugo82]

@anto: Inoltre, osserva che lo stesso tipo di ragionamento vale anche in un caso un po' più generale, ossia quando i coefficienti della EDO dipendono in maniera continua da $x$ su un intervallo base compatto.

[anto_zoolander]

allora in genere ponendo $vec(y)=(y,y^((1)),...,y^((n)))$ e $G:RRtimesRR^(n+1)->RR$ funzione definita come $G(x,vec(y)(x))$ supponendo che sia lineare sulla parte 'vettoriale' allora chiaramente si ottiene subito che

$G(x,vec(y)(x))=sum_(k=0)^(n)G(x,vec(e_k))y^((k))(x)=sum_(k=0)^(n)a_k(x)y^((k))(x)$

ovvero le equazioni differenziali lineari omogenee(e non, ma nel primo caso si ha uno spazio vettoriale) sono tutte di questo tipo

diciamo che sul wroskiano non so nulla ma vorrei fare lo stesso la dimostrazione di mano mia