allora facciamo un po' di ordine.
una successione a valori in un insieme $A$ è una qualsiasi funzione $a:NN->A$
un punto di accumulazione invece è qualcosa che ha a che fare con un insieme, in particolare un punto di un insieme può o meno avere la proprietà di essere di accumulazione per esso.
quindi parlare di 'punto di accumulazione di una successione' non ha alcun senso, mentre ha senso parlare di limite di una successione.
Le due 'cose' sono collegate da un teoremino, il seguente:
sia $(X,d)$ uno spazio metrico e $AsubseteqX$ un suo sottoinsieme
$x in X$ è di accumulazione per $A$ se e solo se $existsa:NN->A: a_n->a wedgea_n ne a,foralln inNN$ mostriamo la prima.
se $x inX$ è di accumulazione per $A$ allora per definizione di punto di accumulazione
$forallJ in I(x) ( Jsetminus{x}capA ne emptyset)$
chiaramente essendo $B(x, r)inI(x),forallr>0$
in uno spazio metrico le palle aperte sono intorni del proprio centrosi ha che $forallr>0(B(x,r)setminus{x}capA ne emptyset)$
ponendo $r=1/n, n inNN$ possiamo considerare il fatto che $B(x,r)setminus{x}capAneemptyset$ equivalga a dire che esista almeno un certo $y in A$ per cui si abbia $0<d(x,y)<r$ quindi significa che possiamo costruire una successione ${x_n}_(n inNN)subseteqA$ con la proprietà che $0<d(x,x_n)<1/n,foralln inNN$ da cui per confronto $x_n->x$ e $x_n ne x,foralln inNN$ per costruzione
viceversa.
se esiste una successione avente quella proprietà significa dire che
$forall J in I(x) exists m inNN:foralln inNN(n>m => x_n in Jsetminus{x} )$
essendo che $x_n$ è una successione di $A$ è anche vero che $x_n in Jsetminus{x}capA$ ovvero che per ogni intorno $J in I(x)$ l'intersezione $Jsetminus{x}capA$ è non vuota poichè almeno un elemento della successione vi appartiene e quindi $x$ è di accumulazione per $A$
chiaramente la convergenza implica che per ogni intorno esista un indice per cui definitivamente tutti i termini della successione da quell'indice in poi cadono in quell'intorno e quindi è una posizione 'molto forte' per il semplice fatto che non ne contiene 'almeno uno' ma ne contiene infiniti
quindi la convergenza implica che esista almeno un termine della successione che vi cada all'interno.
Viceversa non è detto che se per ogni intorno esiste almeno un termine che vi cade all'interno, allora la successione converga a quel valore, infatti prendiamo questo esempio
$a_n=2^(n(-1)^n)$ e l'insieme $A={2^(n(-1)^n): n inNN}$
possiamo notare subito che questa successione non ammette limite, ovvero non converge, ma l'insieme $A$ ha $0$ come punto di accumulazione.
infatti basta considerare la sottostuccessione $a_(2n+1)=2^(-(2n+1))->0$ ed essendo termini della successione di partenza significa che in ogni intorno di $0$ cade almeno un punto della successione, ma non ne cadono infiniti(ne cadono infiniti della sottosuccessione)