Integrali multipli
Inviato: 17/05/2018, 22:26
Ho problemi con lo studio della convergenza dei seguenti integrali:
(i)$\int_Q |\sin(xy)|/(x^2+y^2) \ dxdy$
(ii)$\int_Q 1/(x^2y+xy^2) \ dxdy$
dove $Q=[1,+\infty)\times[1,+\infty)$.
Il primo integrale direi che diverge, in quanto andando in polari ottengo:
$\int_Q |\sin(xy)|/(x^2+y^2) \ dxdy=\int_P |sin(\rho^2\cos\theta\sin\theta)|/\rho^2 \cdot \rho \ d\rho d\theta$
con $P={\rho\ge1, \ \theta\in[0,\pi/2]}$, tuttavia non riesco a trovare un modo per maggiorare questo integrale e far vedere che diverge; ho pensato di fare così:
Fisso $0<a<b<\pi/2$, allora vale che $\int_P |sin(\rho^2\cos\theta\sin\theta)|/\rho^2 \cdot \rho \ d\rho d\theta\ge\int_1^{+\infty} d\rho \int_a^b d\theta \ |\sin(m\rho^2)|/\rho$, dove $m=min{cos\theta\sin\theta:\theta\in[a,b]}>0$.
Quindi mi piacerebbe dire che $\int_1^{+\infty} |sin(\rho^2)|/\rho \ d\rho$ diverge, ma non so come dimostrarlo.
Il secondo integrale invece direi che converge, poichè sempre andando in polari si ha che:
$\int_Q 1/(x^2y+xy^2) \ dxdy=\int_P 1/[\rho^3(\cos^2\theta\sin\theta+\cos\theta\sin^2\theta)] \cdot \rho \ d\rhod\theta$,
ho però sempre problemi con quei seni e coseni al denominatore.
Grazie a chi mi aiuterà.
(i)$\int_Q |\sin(xy)|/(x^2+y^2) \ dxdy$
(ii)$\int_Q 1/(x^2y+xy^2) \ dxdy$
dove $Q=[1,+\infty)\times[1,+\infty)$.
Il primo integrale direi che diverge, in quanto andando in polari ottengo:
$\int_Q |\sin(xy)|/(x^2+y^2) \ dxdy=\int_P |sin(\rho^2\cos\theta\sin\theta)|/\rho^2 \cdot \rho \ d\rho d\theta$
con $P={\rho\ge1, \ \theta\in[0,\pi/2]}$, tuttavia non riesco a trovare un modo per maggiorare questo integrale e far vedere che diverge; ho pensato di fare così:
Fisso $0<a<b<\pi/2$, allora vale che $\int_P |sin(\rho^2\cos\theta\sin\theta)|/\rho^2 \cdot \rho \ d\rho d\theta\ge\int_1^{+\infty} d\rho \int_a^b d\theta \ |\sin(m\rho^2)|/\rho$, dove $m=min{cos\theta\sin\theta:\theta\in[a,b]}>0$.
Quindi mi piacerebbe dire che $\int_1^{+\infty} |sin(\rho^2)|/\rho \ d\rho$ diverge, ma non so come dimostrarlo.
Il secondo integrale invece direi che converge, poichè sempre andando in polari si ha che:
$\int_Q 1/(x^2y+xy^2) \ dxdy=\int_P 1/[\rho^3(\cos^2\theta\sin\theta+\cos\theta\sin^2\theta)] \cdot \rho \ d\rhod\theta$,
ho però sempre problemi con quei seni e coseni al denominatore.
Grazie a chi mi aiuterà.