Integrali multipli

[Bremen000]

Propongo una soluzione che mi è venuta in mente e qualche commento, se poi questo sarà utile non lo giudico io.

Vogliamo dimostrare che l'integrale

\[ \int_Q \frac{|\sin(xy)|}{x^2+y^2} dxdy \quad \quad Q= [1, +\infty) \times [1, +\infty) \]

diverge.

Passiamo in coordinate polari come suggerito dalla forma del denominatore operando una minorazione dell'integrale

\[ \int_Q \frac{|\sin(xy)|}{x^2+y^2} dxdy \ge \int_D \frac{|sin(\rho^2 \cos(\theta) \sin(\theta))|}{\rho} d\rho d \theta \quad \quad D= \{ (\rho, \theta) \in [2, +\infty), [\pi/6, \pi/3] \} \]

Poiché l'integranda è positiva in $D$ si può usare Fubini (non mi ricordo ad Analisi 2 quale è la giustificazione che si da ma qua il dominio è bello quindi credo che ci siano argomenti meno potenti di Fubini che funzionano) e ottenere che

\[ \int_Q \frac{|\sin(xy)|}{x^2+y^2} dxdy \ge \int_{\pi/6}^{\pi/3} \Biggl ( \int_2^{+\infty} \frac{|sin(\rho^2 \cos(\theta) \sin(\theta))|}{\rho} d\rho \Biggr ) d \theta \]

Lavoriamo sull'integrale in $d\rho$ operando il cambio di variabili

\[ \begin{cases} r = \rho^2 \cos(\theta) \sin(\theta) \\ \rho = \sqrt{\frac{r}{ \cos(\theta) \sin(\theta)}} \\ d\rho = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{r \cos(\theta) \sin(\theta)}} \end{cases} \]

Si noti che è tutto ben posto essendo \( \frac{\sqrt{3}}{4} \le \cos(\theta) \sin(\theta) \le 1 \) per ogni \( \theta \in [\pi/6, \pi/3] \).

Da cui otteniamo

\[ \int_2^{+\infty} \frac{|sin(\rho^2 \cos(\theta) \sin(\theta))|}{\rho} d\rho = \int_{4 \cos(\theta) \sin(\theta)}^{+\infty} \frac{ |\sin(r)|}{\sqrt{\frac{r}{ \cos(\theta) \sin(\theta)}}} \frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{r \cos(\theta) \sin(\theta)}} dr = \frac{1}{2} \int_{4 \cos(\theta) \sin(\theta)}^{+\infty} \frac{|sin(r)|}{r} dr \ge \frac{1}{2} \int_{4}^{+\infty} \frac{|sin(r)|}{r} dr \]

Quindi in definitiva

\[ \int_Q \frac{|\sin(xy)|}{x^2+y^2} dxdy \ge \frac{1}{2} \int_{\pi/6}^{\pi/3} \Biggl ( \int_{4}^{+\infty} \frac{|sin(r)|}{r} dr \Biggr ) d \theta = + \infty \]

poiché, come è noto e come ha fatto vedere Quinzio, che l'integrale in $dr$ diverge.

Fatto sto pippozzo, volevo far vedere come il procedimento tentato inizialmente, ovvero di minorare la quantità \( |sin(\rho^2 \cos(\theta) \sin(\theta))| \) in un opportuno sottoinsieme di $Q$, conduce ad un esito fallimentare.

L'idea iniziale è quella prima di minorare la quantità \( \cos(\theta) \sin(\theta) \) (e questo si fa senza problemi perché tale funzione è limitata e positiva in ogni intervallo \( (a,b) \) con \( 0 < a <b <\pi/2 \) ) per poi restringersi a \( (a,b) \times P \) dove $P$ è un sottoinsieme di $\mathbb{R}$ dove la funzione $|sin(t)|$ è crescente, così da poter sfruttare la minorazione appena descritta.

Ora, $|sin(t)|$ è crescente quando \( 2k\pi \le t \le 2k\pi+\pi/2 \quad k \in \mathbb{N} \) e quindi vogliamo trovare $P$ sia soddisfatta

\[ 2k\pi \le \rho^2 \cos(\theta) \sin(\theta) \le 2k\pi+\pi/2 \quad \forall k \in \mathbb{N} \quad \forall \, (\rho, \theta) \in P \times (a,b) \quad \quad (\ast) \]

Sia $m$ il minimo di \( \cos(\theta) \sin(\theta) \) in \( (a,b) \).

Allora sicuramente \( (\ast) \) è soddisfatta se $P$ è tale che

\[ \frac{2k\pi}{m} \le \rho^2 \le 2k\pi+\pi/2\quad \forall k \in \mathbb{N} \quad \forall \rho \in P \]

Però deve necessariamente valere

\[ \frac{2k\pi}{m} \le 2k\pi+\pi/2\quad \forall k \in \mathbb{N} \quad \quad (\ast \ast) \]

Se no $P$ sarebbe un insieme limitato e si arriverebbe ad una minorazione inutile.

Purtroppo \( (\ast \ast) \) implica che $m=1$ il che non è realizzabile.

Spero di non aver scritto scempiaggini.