Una versione bidimensionale di un vecchio trucco di integrazione per parti?

Mi trovo a dover calcolare degli integrali in questa forma:
\[
I=\int_0^1 \int_0^1 \frac{\partial^2f}{\partial u\partial v}(u, v)\, f(u,v)\, dudv, \]
dove \(f\colon\mathbb R^2\to \mathbb R\) è una funzione di classe \(C^\infty\). Mi piacerebbe esprimere \(I\) in funzione dei valori di \(f\) sul bordo di \([0,1]\times[0,1]\) integrando per parti e sfruttando la struttura della funzione integranda, come nell'esempio giocattolo (il "vecchio trucco"):
\[
J=\int_0^1 f(x)\frac{df}{dx}(x)\, dx = -\int_0^1 f(x)\frac{df}{dx}(x)\, dx +\left. f^2(x)\right|^{x=1}_{x=0}\ \Rightarrow\ 2J=\left.f^2(x)\right|^{x=1}_{x=0}.\]

Ma naturalmente non funziona così com'è, perché la mia derivata è di secondo ordine, e integrando per parti due volte ho un cambio sfavorevole di segni. A qualcuno viene in mente qualche altra manovra per calcolare o semplificare \(I\)?

Tutte le idee sono bene accette, non ho un obiettivo particolare. Specialmente, non sono sicuro che \(I\) sia funzione dei soli valori sul bordo del quadrato, e non è quello l'importante. L'importante è estrarre più informazioni possibile su \(I\) dalla struttura della funzione integranda.

Grazie!

Grazie TeM! Il tuo è un contributo interessante: probabilmente non c'è una formula generale per quell'integrale. Al massimo si possono ottenere formule di questo genere quando ci sono derivate del primo ordine, ma non del secondo.