Dimostrare che forma ha l'integrale della funzione identica su $ \mathbb{R} $ secondo la definizione di Riemann
Inviato: 19/05/2018, 18:28Sul Prodi di Analisi 1, un esercizio chiede di dimostrare, usando la definizione di integrale (secondo Riemann), che $ \int_{a}^{b}xdx = \frac{b^2-a^2}{2} $.
Io l'ho risolto nel seguente modo, assumendo in partenza che $ \int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{0}^{b}f(x)dx-\int_{0}^{a}f(x)dx $ (non so fino a che punto possa effettivamente assumerlo).
Calcolando dunque l'integrale sull'intervallo $[0,a]$, ho diviso quest'intervallo in $ n $ parti di ampiezza $ a/n $ ciascuna.
Chiamando $ x_k $ il $ k $-esimo intervallo, si vede immediatamente che la somma inferiore e la somma superiore hanno, rispettivamente, la forma: $ I'=sum_{k=1}^{n}x_{k-1}(x_k-x_{k-1})=sum_{k=1}^{n}a^2/n^2k = a^2/n^2 \frac{n^2-n}{2}$ e $ I''=sum_{k=1}^{n}x_{k}(x_k-x_{k-1})=sum_{k=1}^{n}a^2/n^2(k-1) = a^2/n^2 \frac{n^2+n}{2} $.
Facendo il limite per $ n \rightarrow \infty $ mi trovo $ I'=a^2/2-a^2/n = a^2/2$ e $ I''=a^2/2+a^2/n = a^2/2 = I' $ e ne segue la tesi.
Il procedimento è corretto?
Io l'ho risolto nel seguente modo, assumendo in partenza che $ \int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{0}^{b}f(x)dx-\int_{0}^{a}f(x)dx $ (non so fino a che punto possa effettivamente assumerlo).
Calcolando dunque l'integrale sull'intervallo $[0,a]$, ho diviso quest'intervallo in $ n $ parti di ampiezza $ a/n $ ciascuna.
Chiamando $ x_k $ il $ k $-esimo intervallo, si vede immediatamente che la somma inferiore e la somma superiore hanno, rispettivamente, la forma: $ I'=sum_{k=1}^{n}x_{k-1}(x_k-x_{k-1})=sum_{k=1}^{n}a^2/n^2k = a^2/n^2 \frac{n^2-n}{2}$ e $ I''=sum_{k=1}^{n}x_{k}(x_k-x_{k-1})=sum_{k=1}^{n}a^2/n^2(k-1) = a^2/n^2 \frac{n^2+n}{2} $.
Facendo il limite per $ n \rightarrow \infty $ mi trovo $ I'=a^2/2-a^2/n = a^2/2$ e $ I''=a^2/2+a^2/n = a^2/2 = I' $ e ne segue la tesi.
Il procedimento è corretto?