Limite di una radice dispari

[Ishima]

Salve,non riesco a risolvere questo limite:
$ lim_(x -> +∞) (x^17-x^16)^(1/17)-x $

Avevo pensato di raccogliere $x^17$ dentro la radice per poi semplificarlo ma non ne sono sicuro,grazie in anticipo!

[Brancaleone]

Mmh... ho trovato una strada, ma non è immediata:

$lim_(x->+oo) (x^17 - x^16)^(1/17)-x=$

Sostituisco $x=1/t$:

$=lim_(t->0^+) (1/t^17 - 1/t^16)^(1/17)-1/t=((1-t)/(t^17))^(1/17) -1/t=$

Moltiplico numeratore e denominatore per $t$:

$=(t((1-t)/(t^17))^(1/17) -1)/t=((t^17 \cdot (1-t)/(t^17))^(1/17) -1)/t=((1-t)^(1/17)-1)/t=0/0$

Applico de l'Hôpital:

$=-1/(17(1-t)^(1/17))=-1/17$

[Ishima]

Grazie!

[gugo82]

Beh, semplicemente:
\[
\lim_{x\to + \infty} (x^{17} - x^{16})^{1/17} - x = \lim_{x\to + \infty} \frac{(1 - 1/x)^{1/17} - 1}{1/x} = - \frac{1}{17}
\]
per limite notevole.

[Brancaleone]

Eh, ricordarselo

[pilloeffe]

Ciao Ishima,

Lo svolgimento di gugo82 contiene qualche imprecisione, anche se il risultato è corretto. Si ha:

$ lim_{x\to +\infty} (x^{17} - x^{16})^{1/17} - x = lim_{x\to +\infty} x(1 - 1/x)^{1/17} - x = lim_{x\to +\infty} x[(1 - 1/x)^{1/17} - 1] = $
$ = lim_{x\to +\infty} frac{(1 - 1/x)^{1/17} - 1}{1/x} = - lim_{x\to +\infty} frac{(1 - 1/x)^{1/17} - 1}{- 1/x} $

A questo punto il risultato è effettivamente $-1/17 $ in quanto l'ultimo limite scritto non è che un caso particolare del limite notevole seguente:

$ lim_{f(x)\to 0} frac{[1 +f(x)]^{a} - 1}{f(x)} = a $

con $f(x) = -1/x $ e $a = 1/17 $

[gugo82]

@pilloeffe: Quale imprecisione?

[pilloeffe]

Quale imprecisione?

Niente di che, ad esponente della parentesi tonda hai scritto $17 $ invece di $1/17 $...

[gugo82]

Cavolo!
L’ho pure riletto...

Ora correggo.