ho forti dubbi sulla correttezza del modo in cui sto svolgendo questo esercizio.
data la funzione:
$f(x,y)={(xy sqrt(x^2-y^2), if x^2 - y^2>=0),(0, if x^2-y^2<0):}$
studiare continuità, derivabilità, e differenziabilità.
$f(x,y)$ ha come dominio tutto $RR^2$.
Essendo $f(x,y)$ costituita da una composizione (la radice di $x^2-y^2$) e da prodotti di funzioni continue, differenziabili, e derivabili, allora anch'essa è continua, derivabile, e differenziabile, almeno in $RR^2-{(x,y) \in RR^2 : y=x or y=-x}$, cioè non considerando il bordo della definizione a tratti costituito dalle rette $y=x$ e $y=-x$, ottenute considerando le due regioni della definizione a tratti:
$x^2 - y^2>=0=> -x<=y<=x$
$ x^2-y^2<0=> y>x and y<-x$
per verificare la continuità, calcolo il limite di $f(x,y)$ lungo la retta $y=x$
$lim_((x,y)->(x,x)) xy sqrt(x^2-y^2)= x^2*0=0=f(x,x)$
essendo i punti di questa retta punti di accumulazione, si ha che la funzione è continua lungo tale retta.
la funzione è dispari rispetto a x, ed è dispari anche rispetto a y, pertanto f è pari in quanto $f(x,y)=f(-x,-y)$, da ciò consegue che posso evitare di calcolare il limite anche sulla retta $y=-x$, tutti i risultati ottenuti sulla retta $y=x$ valgono anche sulla retta $y=-x$ (???)
per la derivabilità calcolo ora il limite del rapporto incrementale relativo alla variabile x sulla restrizione $y=x$
$(delf(x,x))/(delx)=lim_(h->0) (f(x+h,x)-f(x,x))/h= ((x+h) x sqrt (x^2+h^2+2 x h - x^2)-0)/h$
mi sono bloccato qua, è una forma indeterminata che non riesco a risolvere, trascurando l'infinitesimo di ordine superiore $h^2$ dentro la radice non mi sembra di migliorare la situazione.