continuità, derivabilità, differenziabilità, di una funzione in due variabili definita a tratti con rette come bordo

[qwertyce]

ho forti dubbi sulla correttezza del modo in cui sto svolgendo questo esercizio.

data la funzione:

$f(x,y)={(xy sqrt(x^2-y^2), if x^2 - y^2>=0),(0, if x^2-y^2<0):}$

studiare continuità, derivabilità, e differenziabilità.

$f(x,y)$ ha come dominio tutto $RR^2$.
Essendo $f(x,y)$ costituita da una composizione (la radice di $x^2-y^2$) e da prodotti di funzioni continue, differenziabili, e derivabili, allora anch'essa è continua, derivabile, e differenziabile, almeno in $RR^2-{(x,y) \in RR^2 : y=x or y=-x}$, cioè non considerando il bordo della definizione a tratti costituito dalle rette $y=x$ e $y=-x$, ottenute considerando le due regioni della definizione a tratti:
$x^2 - y^2>=0=> -x<=y<=x$
$ x^2-y^2<0=> y>x and y<-x$

per verificare la continuità, calcolo il limite di $f(x,y)$ lungo la retta $y=x$

$lim_((x,y)->(x,x)) xy sqrt(x^2-y^2)= x^2*0=0=f(x,x)$

essendo i punti di questa retta punti di accumulazione, si ha che la funzione è continua lungo tale retta.

la funzione è dispari rispetto a x, ed è dispari anche rispetto a y, pertanto f è pari in quanto $f(x,y)=f(-x,-y)$, da ciò consegue che posso evitare di calcolare il limite anche sulla retta $y=-x$, tutti i risultati ottenuti sulla retta $y=x$ valgono anche sulla retta $y=-x$ (???)

per la derivabilità calcolo ora il limite del rapporto incrementale relativo alla variabile x sulla restrizione $y=x$

$(delf(x,x))/(delx)=lim_(h->0) (f(x+h,x)-f(x,x))/h= ((x+h) x sqrt (x^2+h^2+2 x h - x^2)-0)/h$

mi sono bloccato qua, è una forma indeterminata che non riesco a risolvere, trascurando l'infinitesimo di ordine superiore $h^2$ dentro la radice non mi sembra di migliorare la situazione.

[Brancaleone]

Non ho guardato tutti i passaggi, ma:

per verificare la continuità, calcolo il limite di $f(x,y)$ lungo la retta $y=x$

$lim_((x,y)->(x,x)) xy sqrt(x^2-y^2)= x^2*0=0=f(x,x)$

essendo i punti di questa retta punti di accumulazione, si ha che la funzione è continua lungo tale retta.

Così facendo sai solo che il limite vale zero per la retta $y=x$; per controllare la validità da ogni direzione devi porlo in coordinate polari:

$lim_((x,y)->(0,0)) xy sqrt(x^2-y^2)=lim_(rho->0^+) rho^3 cos theta sin theta sqrt(cos^2theta-sin^2theta)$

per la derivabilità calcolo ora il limite del rapporto incrementale relativo alla variabile x sulla restrizione $y=x$

$(delf(x,x))/(delx)=lim_(h->0) (f(x+h,x)-f(x,x))/h= ((x+h) x sqrt (x^2+h^2+2 x h - x^2)-0)/h$

No, le definizioni sono:

$(\partial f)/(\partial x)(x_0,y_0)=lim_(h->0) (f(x_0+h,y_0)-f(x_0,y_0))/h$

$(\partial f)/(\partial y)(x_0,y_0)=lim_(k->0) (f(x_0,y_0+k)-f(x_0,y_0))/k$

quindi

$(\partial f)/(\partial x)(0,0)=lim_(h->0) (f(h,0)-f(0,0))/h$

$(\partial f)/(\partial y)(0,0)=lim_(k->0) (f(0,k)-f(0,0))/k$

[qwertyce]

Non ho guardato tutti i passaggi, ma:

per verificare la continuità, calcolo il limite di $f(x,y)$ lungo la retta $y=x$

$lim_((x,y)->(x,x)) xy sqrt(x^2-y^2)= x^2*0=0=f(x,x)$

essendo i punti di questa retta punti di accumulazione, si ha che la funzione è continua lungo tale retta.

Così facendo sai solo che il limite vale zero per la retta $y=x$; per controllare la validità da ogni direzione devi porlo in coordinate polari:

$lim_((x,y)->(0,0)) xy sqrt(x^2-y^2)=lim_(rho->0^+) rho^3 cos theta sin theta sqrt(cos^2theta-sin^2theta)$

per la derivabilità calcolo ora il limite del rapporto incrementale relativo alla variabile x sulla restrizione $y=x$

$(delf(x,x))/(delx)=lim_(h->0) (f(x+h,x)-f(x,x))/h= ((x+h) x sqrt (x^2+h^2+2 x h - x^2)-0)/h$

No, le definizioni sono:

$(\partial f)/(\partial x)(x_0,y_0)=lim_(h->0) (f(x_0+h,y_0)-f(x_0,y_0))/h$

$(\partial f)/(\partial y)(x_0,y_0)=lim_(k->0) (f(x_0,y_0+k)-f(x_0,y_0))/k$

quindi

$(\partial f)/(\partial x)(0,0)=lim_(h->0) (f(h,0)-f(0,0))/h$

$(\partial f)/(\partial y)(0,0)=lim_(k->0) (f(0,k)-f(0,0))/k$

non capisco, con le formule che hai scritto analizzi la continuità e la derivabilità nel punto (0,0), ma quello è solo uno degli infiniti punti delle rette sospette $y=x$ e $y=-x$

[dissonance]

non capisco, con le formule che hai scritto analizzi la continuità e la derivabilità nel punto (0,0), ma quello è solo uno degli infiniti punti delle rette sospette $y=x$ e $y=-x$

È giusto, ma comunque, per una dimostrazione più elegante della continuità della tua funzione prova a considerare la funzione ausiliaria
\[
\phi(u)=\begin{cases} \sqrt{u}, & u\ge 0, \\ 0, & u<0, \end{cases}
\]
che è continua (assicurati di non avere dubbi su questo). Di conseguenza,
\[
f(x, y)=xy \phi(x^2-y^2)\]
è anch'essa una funzione continua. Quest'ultima formula ti potrebbe servire anche per studiare la derivabilità.

[gugo82]

Vabbè, dai, ma si vede che nei punti delle bisettrici la derivabilità parziale rispetto alla $y$ si va a far benedire, quindi anche la differenziabilità.

L’unico punto in cui bisogna effettivamente ragionare è lo $(0,0)$...

[qwertyce]

mi sono preso dei giorni per cercare di chiarirmi le idee prima di rispondere, ma ho ottenuto scarsi risultati come vedrete proseguendo nella lettura di questo post.
Finora ho lavorato su singoli punti per quanto riguarda continuità, derivabilità, e differenziabilità (penso che sarei in grado di studiare il punto (0,0) in questo esercizio), ma lavorare su luoghi di punti, come le bisettrici in questo caso, mi manda in confusione.

non capisco, con le formule che hai scritto analizzi la continuità e la derivabilità nel punto (0,0), ma quello è solo uno degli infiniti punti delle rette sospette $y=x$ e $y=-x$

È giusto, ma comunque, per una dimostrazione più elegante della continuità della tua funzione prova a considerare la funzione ausiliaria
\[
\phi(u)=\begin{cases} \sqrt{u}, & u\ge 0, \\ 0, & u<0, \end{cases}
\]
che è continua (assicurati di non avere dubbi su questo). Di conseguenza,
\[
f(x, y)=xy \phi(x^2-y^2)\]
è anch'essa una funzione continua. Quest'ultima formula ti potrebbe servire anche per studiare la derivabilità.

ok, $phi(u)$ è continua, quindi anche $f$ è continua (ovunque, anche lungo le bisettrici) essendo prodotto e composizione (tramite $phi(u)$) di funzioni continue.

ora provo nel modo "meno galante" a dimostrare la continuità di f lungo le bisettrici:

per la condizione di continuità in un punto di accumulazione, il limite della funzione in un qualsiasi punto della bisettrice deve essere $f(x,x)=l=0$

$abs(f(x_0+r cos(theta), x_0+r cos(theta))-l)=r^3 cos^2(theta) sqrt(cos^2(theta)-cos^2(theta))<=r^3$

$lim_(r->0+) r^3=0 rArr lim_((x,y)->(x_0,y_0)) xy sqrt(x^2-y^2)=0$

(essendo la radice coi $cos^2(theta)$ nulla per ogni $theta$, credo che avrei potuto affermare che $l=0$ anche senza ricorrere al limite di $g(r)=r^3$)

essendo il punto (0,0) del tipo (x,x), da quanto scritto sopra discende che f è continua anche in (0,0).

passo ora alla derivabilità, tramite le formule citate da brancaleone calcolo la derivata parziale su y in un generico punto della bisettrice:

$(\partial f)/(\partial y)(x_0,x_0)=lim_(k->0) (f(x_0,x_0+k)-f(x_0,x_0))/k=lim_(k->0) (0/k- (x^2 sqrt(x^2-x^2))/k)=lim_(k->0) (0/k-0/k)=0$

Vabbè, dai, ma si vede che nei punti delle bisettrici la derivabilità parziale rispetto alla $y$ si va a far benedire, quindi anche la differenziabilità.

L’unico punto in cui bisogna effettivamente ragionare è lo $(0,0)$...

non solo non riesco a vedere come ovvio che non esiste la derivata parziale rispetto a $y$ nei punti della bisettrice, ma dalla definizione mi viene che questa derivata parziale esiste ed è zero

[qwertyce]

passo ora alla derivabilità, tramite le formule citate da brancaleone calcolo la derivata parziale su y in un generico punto della bisettrice:

$(\partial f)/(\partial y)(x_0,x_0)=lim_(k->0) (f(x_0,x_0+k)-f(x_0,x_0))/k=lim_(k->0) (0/k- (x^2 sqrt(x^2-x^2))/k)=lim_(k->0) (0/k-0/k)=0$

Vabbè, dai, ma si vede che nei punti delle bisettrici la derivabilità parziale rispetto alla $y$ si va a far benedire, quindi anche la differenziabilità.

L’unico punto in cui bisogna effettivamente ragionare è lo $(0,0)$...

non solo non riesco a vedere come ovvio che non esiste la derivata parziale rispetto a $y$ nei punti della bisettrice, ma dalla definizione mi viene che questa derivata parziale esiste ed è zero

quel limite è sbagliato, riprovo a calcolare la derivata parziale su y nei punti della bisettrice studiando limite destro e sinistro:

$lim_(k->0^+) (f(x_0,x_0+k)-f(x_0,x_0))/k=lim_(k->0^+) (0/k- (x^2 sqrt(x^2-x^2))/k)=lim_(k->0^+) (0/k-0/k)=0$


$lim_(k->0^-) (f(x_0,x_0+k)-f(x_0,x_0))/k=lim_(k->0^-) (x (x+k) sqrt(x^2-(x+k)^2))/k= lim_(k->0^-) ((x^2+kx) sqrt(-2 x k - k^2)) /k = lim_(k->0^-)(x^2 sqrt(2 x ) sqrt (-k))/k = - infty$

limiti destro e sinistro sono diversi, pertanto non si ha derivabilità parziale su y lungo le bisettrici, lì $f(x,y)$ non ammette gradiente (cioè non è derivabile), posso quindi evitare di calcolare la derivata parziale su x, inoltre conseguentemente la funzione neanche può essere differenziabile in tali punti.

verifico ora l'esistenza delle derivate parziali nel punto $(0,0)$ calcolando i limiti destro e sinistro, ottengo quattro semplici limiti tutti nulli, riporto solo il primo:

$lim_(k->0^+) (f(0,k)-f(0,0))/k=lim_(k->0^+) (0-0)/k=0$

la funzione è derivabile in $(0,0)$, e ha ivi gradiente nullo

verifico ora la differenziabilità in $(0,0)$, affinché la si abbia deve essere nullo il seguente limite:

$lim_((h,k)->(0,0)) (f(h,k)- f(0,0))/(sqrt(h^2+k^2))=lim_((h,k)->(0,0)) (h k sqrt(h^2-k^2))/(sqrt(h^2+k^2))$

passo in coordinate polari:
$lim_(r->0^+) r^2 cos(theta) sin(theta) sqrt(cos^2(theta)- sin^2(theta))$

il limite non è definito per alcune direzioni (esempio: $theta=pi/2$), quindi la funzione non è differenziabile in $(0,0)$

ricapitolando:
Nelle bisettrici la funzione è continua ma non derivabile (a eccezione di $(0,0)$, dove è derivabile, ma non differenziabile).
Al di fuori delle bisettrici la funzione è continua, derivabile, e differenziabile, in quanto composizione e prodotto di funzioni continue, derivabili, e differenziabili.


spero di non aver commesso errori anche questa volta