Semplice integrale

[dRic]

Ciao,

mi stavo chiedendo com'è che vanno risolti esercizio del tipo:

"Nota la funzione $g(x)$ trova $f$ tale che:

$int_0^x f = g(x)$"

Io ne ho risolto qualcuno un po' ad intuito e un po' a tentativi, ma non ho un vero e proprio metodo. All'inizio avevo pensato di fare così:

$int_0^x f = F(x) - F(0)$ con $ \dot F = f$ e a questo punto:

$int_0^x f = F(x) - F(0) = g(x)$ che derivata dà $f(x) - f(0) = \dot g$.

Però non so bene come gestire quell'$f(0)$

[anto_zoolander]

Ti chiede soltanto di trovare una primitiva

[dRic]

?

Casomai una derivata...

[anto_zoolander]

Se ti chiede di trovare una funzione $f$ tale che $int_(0)^(x)f(t)dt=g(t)$ essendo la funzione integrale una primitiva..

[dRic]

Se $g$ è la (una) primitiva di $f$ allora, siccome devo calcolare $f$, $f$ è la derivata di $g$, no?

[anto_zoolander]

Hai ragione, scusami. Ho letto al contrario il problema e hai ragione

Hai una funzione $g$ e ti dice di trovare una funzione $f$ tale che $int_(0)^(x)f(t)dt=g(t)$
Ora se questa funzione $f$ esiste, mettendo l’ipotesi che sia continua su un compatto, per il teorema fondamentale del calcolo deve aversi che

$d/(dx)int_(0)^(x)f(t)dt=g’(x) => f(x)=g’(x)$

Quindi a meno di qualche mancata ipotesi, penso che sia così

Oppure come hai fatto tu $d/(dx)[F(x)-F(0)]=f(x)$ perché $F(0)$ è una costante, che poi è sempre il teorema fondamentale del calcolo integrale

[dRic]

Oppure come hai fatto tu $\frac d {dx}[F(x)−F(0)]=f(x)$ perché $F(0)$ è una costante, che poi è sempre il teorema fondamentale del calcolo integrale

Questa cosa non mi torna molto. Se fosse come dici tu $int_0^x f = g$ implicherebbe $f = \dot g$, ma ciò non è necessariamente vero. Prendendo g = $e^x$, per esempio, viene che $int_0^x f(t) dt = e^x$. Ma in questo caso $f$ non può essere $e^t$

[anto_zoolander]

Come no? Se quell’uguaglianza è vera allora si avrà $f(x)=e^x$
Poi la variabile di integrazione la puoi chiamare come vuoi, ciò che ti interessa è che la derivata della funzione integrale abbia questa proprietà.

prima parte

[dRic]

Ma scusa se $f = e^t$

$int_0^x e^t dt = e^x - e^0 = e^x - 1$

Ma $g = e^x$

dunque $int_0^x f != g$

o sto sbagliando qualcosa io?

[dRic]

ho modificato il messaggio che avevo fatto una svista