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Come fai a dire che sono diverse? Una cosa è la funzione integranda, un’altra cosa è la funzione integrale

$f(x)=int_(0)^(x)e^tdt=e^x-1=>f’(x)=e^x$ poi si cambia la notazione della variabile nell’integrazione, ma non c’è ambiguità

Forse mi sono spiegato male.

Risolviamo il problema seguente:

$int_0^x f = e^x$

Se $f = e^t$

$int _0^x e^t dt = e^x - 1 != e^x$

Ma la $f$ è incognita nel tuo esempio la stai assumendo.

Sono ad una comunione quindi non riesco a trasmettere perfettamente quello che voglio dire però in sostanza la cosa segue dal teorema fondamentale del calcolo in quanto la funzione integrale è una primitiva della integranda e che due primitive differiscono per una costante

La $f$ è incognita, ma seguendo il ragionamento di prima dovrebbe risultare $f = e^t$ cosa non vera. Magari ho capito male quello che volevi dire

Comunque che grande che stai qua durante una comunione ahahahahahahah

dRic ha scritto:Ciao,

mi stavo chiedendo com'è che vanno risolti esercizio del tipo:

"Nota la funzione $g(x)$ trova $f$ tale che:

$int_0^x f = g(x)$"

Innanzitutto, osserverei due cose:

• innanzitutto, affinché l'uguaglianza valga deve risultare necessariamente $g(0)=0$ poiché il primo membro si annulla per $x=0$;
  
  
• seconda cosa, dato che la funzione integrale di una funzione limitata ed integrabile alla Riemann sui compatti è (assolutamente) continua, affinché l'uguaglianza valga la $g$ deve essere (assolutamente) continua.

In tali ipotesi, che garantiscono la buona posizione del problema, si può ragionare sulla possibile soluzione.

Se $g$ è una funzione di classe $C^1$, allora l'unica soluzione del problema è $f=g^\prime$.

Nel caso in cui $g$ è assolutamente continua ma non di classe $C^1$, la soluzione del problema esiste comunque ed, in un senso generalizzato, è comunque una "derivata" di $g$, che si chiama derivata debole... Ma di queste questioni ti occuperai più avanti.

Se, invece, tali ipotesi non sono soddisfatte, il problema non ammette soluzione.

Grazie gugo82 per la risposta. Il mio problema sta proprio nel capire perché $g(0) = 0$. Sinceramente non ho capito la frase

gugo82 ha scritto:... poiché il primo membro si annulla per $x=0$;

Magari è qualcosa di banale, ma proprio mi sfugge il ragionamento che c'è dietro

Beh, semplicemente perché:
\[
\int_0^0 f(t) \ \text{d} t = 0
\]
per definizione.

$g(0)=int_(0)^(0)f(t)dt$ quindi...

Preceduto

Già! che sbadato che sono!

Perché dentro di me pensavo che questo non è altro che un banalissimo caso di equazione differenziale, ma mi mancava la condizione al contorno per trovare la primitiva.

Grazie mille!

Ps: generalizzando per un integrale $int_a^x f = g$ deve essere $g(a) = 0$, giusto ?