Integrale triplo

[Andrea Lombardi]

Buongiorno ragazzi,
Sto risolvendo il seguente integrale triplo $\int int int zdxdydz$ esteso al dominio ${(x,y,z) in RR^3: x^2+y^2+z^2<1 e sqrt(3)z>sqrt(x^2+y^2)}$. Io l'ho risolto passando a coordinate cilindriche con le nuove limitazioni: $0<\Theta<2pi$; $0<c<sqrt(3)/2$ e $ -sqrt(1-c^2)<z<sqrt(1-c^2)$. Alla fine ho ottenuto come risultato $3/16pi$. L'ho fatto passando anche a coordinate sferiche
con le limitazioni $0<\Theta<2pi$; $0<\varphi<pi/3$ e $0<c<1$ e ho ottenuto lo stesso risultato $3/16pi$. Purtroppo il risultato che io trovo non corrisponde con le soluzione proposte dalla professoressa. Potete dirmi se si tratta di un errore nella scrittura delle limitazioni o della successiva risoluzione degli integrali? Grazie mille

[pilloeffe]

Ciao Andrea,

Io mi farei un bel disegno:

$x^2 + y^2 + z^2 = 1 $ è una sfera di raggio $r = 1 $ quindi $x^2 + y^2 + z^2 < 1 $...

$ z = frac{1}{sqrt{3}} sqrt{x^2 + y^2} $ è un cono con $ m = h/R = frac{1}{sqrt{3}} = 1/tan\alpha \implies tan\alpha = sqrt{3} \implies \alpha = \pi/3 $ ($\alpha $ è il semiangolo al vertice del cono che è nell'origine degli assi cartesiani) quindi $ z > frac{1}{sqrt{3}} sqrt{x^2 + y^2} $...

[Andrea Lombardi]

sì, avevo già provato questa strada ed ero giunto ai tuoi stessi risultati. ora provo a proseguire i calcoli...