Risoluzione equazione

[Marco V]

Buongiorno,
sto trovando davvero molte difficoltà nel risolvere la seguente equazione:
$ J(x,v,u)=sum_(i=1)^c sum_(j = 1)^gu_(ij)^w sum_(k=1)^n((v_(i(k+1))-v_(ik))/(t_(k+1)-t_k)-(x_(i(k+1))-x_(ik))/(t_(k+1)-t_k))^2 $

Quello che credo di dover fare è differenziare parzialmente rispetto a $ v_(ik) $ , porre uguale a zero, ossia trovare il minimo della funzione e poi ricavare l'espressione per $ v_(ik) $.
Lo scopo in ogni caso è trovare la funzione v che minimizza la funzione J.


sia x che v sono funzioni di t.

Quello che so è che l'espressione finale per $ v_(ik) $ dev'essere indipendente da i, per cui lo posso fissare e elimino la rispettiva sommatoria.

Dunque la reale equazione da derivare ecc è:
$ J(x,v,u)=sum_(j = 1)^gu_(ij)^w sum_(k=1)^n((v_(i(k+1))-v_(ik))/(t_(k+1)-t_k)-(x_(i(k+1))-x_(ik))/(t_(k+1)-t_k))^2 $

Se derivo parzialmente per $ v_(ik) $, devo considerare tutto costante tranne i termini v, giusto? e mentre il termine $v_(ik)$ derivato fa 1, quello $v_(i(k+1))$ risulta delta di kronecker oppure li riscrivo come $ (v_(i(k+1))-v_(ik))/(v_(ik)-v_(i(k-1))) $ ?

e cmq a parte questo passaggio che risulta relativamente semplice, una volta calcolata la derivata mi blocco e non so come andare avanti. Non riesco a ricavarmi l'equazione in funzione di $v_(ik)$.


qualcuno mi può aiutare spiegandomi i passaggi?

grazie

[Marco V]

'

[Raptorista]

Hai poco da fare quella faccia, non mi meraviglio che nessuno risponda visto che non si capisce niente di quello che scrivi.
Quella cosa che hai scritto non è un'equazione, tanto per cominciare.
Hai scritto che \(v\) è funzione di \(t\), e allora cos'è \(v_{ik}\)?

Il resto non è meno incomprensibile.

[Marco V]

Dato che non si capisce, riaggiusto e semplifico.

Devo trovare la funzione v che minimizza questa funzione:
$ J(x,v,u)=sum_(j = 1)^g u_(j)^w sum_(k=1)^n((v_((k+1))-v_(k))/(t_(k+1)-t_k)-(x_(j(k+1))-x_(jk))/(t_(k+1)-t_k))^2 $

sia x che v sono funzioni discrete di t.

ogni v_k è un valore della funzione v

qualcuno mi può aiutare spiegandomi i passaggi?

meglio?

[Raptorista]

Mmm... Per funzione discreta intendi dire che \(v_k = v(t_k)\) per certi \(t_k\)?

[Marco V]

Mmm... Per funzione discreta intendi dire che \(v_k = v(t_k)\) per certi \(t_k\)?

si, v così come x sono polilinee o spezzate

[Raptorista]

Ok, ora è tutto un po' più chiaro. Sono tutte somme finite, quindi è un problema di ottimizzazione in dimensione finita. Mettiti a fare derivate con molta pazienza.

Moderatore: Raptorista

Sposto da Analisi superiore.

[Marco V]

si, le derivate già le ho fatte… il risultato che mi esce è:

$ sum_(k=1)^n (v_(k+1)-v_k)/(t_(k+1)-t_k)=(sum_(j=1)^g u_(j)^w sum_(k=1)^n(x_(jk+1)-x_(jk))/(t_(k+1)-t_k))/(sum_(j=1)^g u_j^w) $

il problema è:

c'è un modo per poter scrivere v_k = ecc?
o meglio ancora v(n)=?

con n numero dei punti della spezzata

[Raptorista]

Quella è la derivata rispetto a cosa? A naso direi che la sommatoria su \(k\) deve sparire.

[Marco V]

Ho seguito questo iter, in cui d_ik è ovviamente la terza sommatoria con tutto quello tra parentesi nella relazione iniziale.
Il semplice x-v a me è quella sommatoria di differenze di coefficienti angolari.


seguendo pedissequamente quanto scritto nell'immagine, mi ritrovo con una relazione che con un semplice cambio di ordine dei membri scrivo come riportato nel post precedente. E sebbene anche io sia dell'avviso che la sommatoria in qualche modo prima o poi debba scomparire, non riesco a trovare il modo.