Raptorista ha scritto:Il gradiente di una cosa scalare è una cosa vettoriale, quindi il gradiente di \(J\) sarà un vettore il cui elemento \(k\)-esimo è la derivata rispetto a \(v_k\). Se vuoi trovare quando il gradiente è zero devi imporre che siano zero tutte le sue componenti o, equivalentemente, una sua qualunque norma.
Non posso leggere i conti adesso.
Dunque mi calcolo la derivata rispetto una qualsiasi componente, ad esempio v_1:
$ (partial J)/(partial v_1)= sum_(j=1)^g u_j^w ((v_2-v_1)/(t_2-t_1)^2-(x_(j2)-x_(j1))/((t_2-t_1)(t'_2-t'_1)) $
poi la generalizzo avendo tutte le componenti del grandiente la stessa forma, calcolo la norma e la pongo uguale a zero:
$ sqrt( sum_(k=1)^n(sum_(j=1)^g u_j^w((v_(k+1)-v_k)/(t_(k+1)-t_k)^2-(x_(jk+1)-x_(jk))/((t_2-t_1)(t'_2-t'_1)))^2= 0 $
elevo al quadrato ed elimino la radice, e poi applico la seguente formula:
$ (sum_(c=1)^p l_c)^2= sum_(c=1)^pl_c^2+2sum_(c=1)^(p-1)sum_(h=c-1)^pl_cl_h $
che mi porta ad avere questo mostro:
$ sum_(k=1)^n[sum_(j=1)^g u_j^(2w)((v_(k+1)-v_k)/(t_(k+1)-t_k)^2-(x_(jk+1)-x_(jk))/((t_2-t_1)(t'_2-t'_1)))+2sum_(j=1)^(g-1)sum_(h=j+1)^gu_j^wu_h^w((v_(k+1)-v_k)/(t_(k+1)-t_k)^2-(x_(jk+1)-x_(jk))/((t_2-t_1)(t'_2-t'_1)))((v_(k+1)-v_k)/(t_(k+1)-t_k)^2-(x_(hk+1)-x_(hk))/((t_2-t_1)(t'_2-t'_1)))]=0 $
ho portato dentro la sommatoria con k:
$ sum_(k=1)^n(v_(k+1)-v_k)/(t_(k+1)-t_k)^2-sum_(j=1)^g u_j^(2w)sum_(k=1)^n(x_(jk+1)-x_(jk))/((t_2-t_1)(t'_2-t'_1))+2sum_(j=1)^(g-1)sum_(h=j+1)^gu_j^wu_h^wsum_(k=1)^n((v_(k+1)-v_k)/(t_(k+1)-t_k)^2-(x_(jk+1)-x_(jk))/((t_2-t_1)(t'_2-t'_1)))((v_(k+1)-v_k)/(t_(k+1)-t_k)^2-(x_(hk+1)-x_(hk))/((t_2-t_1)(t'_2-t'_1)))=0 $
e ho provato a eseguire le moltiplicazioni sperando in termini misti che si elidono, ma così non è stato. consigli?
