Risoluzione equazione

[Marco V]

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[Raptorista]

Non ho letto la pagina perché non posso adesso, però ciascun \(v_\hat k\) compare in solo due termini della sommatoria su k, quindi prima di fare la derivata puoi sostituire la sommatoria con la somma esplicita di solo quei due termini.

[Marco V]

Non ho letto la pagina perché non posso adesso, però ciascun \(v_\hat k\) compare in solo due termini della sommatoria su k, quindi prima di fare la derivata puoi sostituire la sommatoria con la somma esplicita di solo quei due termini.

raptorista non credo di averti capito. Sebbene nel pezzo in sommatoria ci siano solo 2 termini con v_k e v_(k+1), la sommatoria va da 1 a n...come faccio a sostituirla con soli due termini...e seppure tu volessi fare un qualche tipo di approssimazione, non capisco come tu abbia tenuto conto dell'elevazione a quadrato dell'intera parentesi...

[Raptorista]

Se vuoi fare la derivata di quella sommatoria rispetto ad un generico $v_k$ allora puoi buttare via fin dall'inizio tutti i termini che non contengono $v_k$. Non sei d'accordo? Prova a fare la derivata rispetto a $v_2$ con $n=4$ e vedrai.

[Marco V]

Se vuoi fare la derivata di quella sommatoria rispetto ad un generico $v_k$ allora puoi buttare via fin dall'inizio tutti i termini che non contengono $v_k$. Non sei d'accordo? Prova a fare la derivata rispetto a $v_2$ con $n=4$ e vedrai.

non son d'accordo, perché la derivata di x^2 è 2xdx , quindi se faccio la derivata di quella parentesi, mi verrà 2 (roba tra parentesi)*(la derivata di v_k rispetto a se stesso che è 1)

quindi le v le x e tutto quello in parentesi mi rimane… o no?
Inoltre la derivata passa dentro la sommatoria, quindi anche dopo aver derivato la sommatoria resta

[Raptorista]

Credo di aver capito dove stai sbagliando... Hai provato a fare il conto che ti ho detto prima?
Scrivi come fai la derivata rispetto ad un $v_k$.

[Marco V]

Allora
derivo la seguente funzione per v_k e pongo uguale a 0:
$ J(x,v,u)=sum_(j = 1)^g u_(j)^w sum_(k=1)^n((v_((k+1))-v_(k))/(t_(k+1)-t_k)-(x_(j(k+1))-x_(jk))/(t_(k+1)-t_k))^2 $

$ sum_(j=1)^g u_j^w sum_(k=1)^n 2((v_((k+1))-v_(k))/(t_(k+1)-t_k)-(x_(j(k+1))-x_(jk))/(t_(k+1)-t_k))*(1/(t_(k+1)-t_k))=0 $

questo perchè nè t ne x dipendono da v, v_k rispetto a se stesso fa 1 facendo restare solo il denominatore e v_k+1 rispetto a v_k dovrebbe fare la delta di kronecker e poiché $ k \ne k+1 \forall k $, si azzera.


Da qui elimino il 2, eseguo la moltiplicazione e inverto le sommatorie, ottenendo:

$ sum_(k=1)^n (sum_(j=1)^g u_j^w (v_((k+1))-v_(k))/(t_(k+1)-t_k)^2- sum_(j=1)^g u_j^w (x_(j(k+1))-x_(jk))/(t_(k+1)-t_k)^2))=0 $

da cui separo e porto all'altro membro:

$ sum_(k=1)^n (v_((k+1))-v_(k))/(t_(k+1)-t_k)^2=(sum_(k=1)^n sum_(j=1)^g u_j^w (x_(j(k+1))-x_(jk))/(t_(k+1)-t_k)^2)/(sum_(j=1)^g u_j^w)=0 $

e ora?

[Raptorista]

Come pensavo, il problema è ancora più a monte delle derivate...
NON PUOI derivare rispetto ad un generico $v_k$, che senso ha?? Puoi derivare rispetto a $v_1$ o $v_3$ o, come ho scritto sopra, $v_\hat k$: non avevi notato il cappello??

Se avessi fatto il test che ti ho detto avresti capito subito dove sbagli.

[Marco V]

hai ragione... non me ne ero accorto…
e dunque come faccio a trovare la spezzata v che minimizza la funzione J?
in quella pagina che ti ho riportato quel tipo considera la d^2, che in questo caso è la sommatoria della parentesi al quadrato, come la norma generata dal prodotto interno, dopodiché se non ho capito male applica i moltiplicatori di lagrange utilizzando vettori unitari q e deriva rispetto il moltiplicatore h…
se questo che ho capito è corretto e non ho sbagliato di nuovo i conti seguendo quello che dice lui, mi ritrovo così:
$ sum_(j = 1)^g u_(j)^w sqrt(sum_(k=1)^n((v_((k+1))-v_(k))/(t_(k+1)-t_k)-(x_(j(k+1))-x_(jk))/(t_(k+1)-t_k))^2)-hq=0 $

e in altrettanto modo non so come uscirne..

[Raptorista]

Il gradiente di una cosa scalare è una cosa vettoriale, quindi il gradiente di \(J\) sarà un vettore il cui elemento \(k\)-esimo è la derivata rispetto a \(v_k\). Se vuoi trovare quando il gradiente è zero devi imporre che siano zero tutte le sue componenti o, equivalentemente, una sua qualunque norma.

Non posso leggere i conti adesso.