Ciao jarjar2,
jarjar2 ha scritto:Dopo una spiegazione dell'ottimo utente del forum
Innanzitutto ti ringrazio sia per quanto hai scritto sopra, sia per aver aperto un nuovo thread sull'argomento.
Venendo a noi, prendiamo il tuo esempio 1). La domanda che dovresti porti è la seguente: come si comporta la funzione $arctan(x) $ quando $x \to +\infty $ ? Pensa a come è fatta la funzione $ arctan(x) $:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=arctan(x)Come dovresti sapere si ha $ lim_{x \to +\infty} arctan(x) = \pi/2 $, cioè la funzione $ arctan(x) $ ha un asintoto orizzontale di equazione $y = \pi/2 $ che sovrasta la funzione, quindi nel caso specifico si potrebbe anche usare il $\le $ (che in genere prediligo) invece della stima asintotica, infatti si ha:
$ arctan(x)/sqrt(1+x^3) \le pi/(2x^(3/2)) \qquad \AA x \in (0, +infty) $
2) Dai un'occhiata al grafico delle due funzioni $arctan(1/x) $ e $ 1/x $: dovresti accorgerti facilmente che all'aumentare di $x$ l'andamento delle due funzioni tende a sovrapporsi, cioè le due funzioni si comportano allo stesso modo per $x to +\infty $:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=arctan(1%2Fx)+and+1%2FxInfatti come già scritto nell'altro thread si ha $lim_{x \to +\infty} frac{arctan(1/x)}{1/x} = 1 \implies arctan(1/x) $ \( \displaystyle \sim \) $ 1/x $
Anche in questo caso si potrebbe usare il $\le $, infatti dall'andamento delle due funzioni si vede subito che si ha:
$ arctan(1/x) \le 1/x \qquad \AA x \in (0, +\infty) $