Studio qualitativo equazione differenziale
Inviato: 16/06/2018, 00:57Si consideri il problema di Cauchy: $u'=(u-t)/(u+t^2+1)\ , \ u(0)=a$ [con $u$ si sottintende $u(t)$].
1) Studiare l'esistenza globale nel passato e nel futuro per $a<-1$
Si ha che $u'$ è localmente lipschitziana dove definita, quindi vi sono esistenza ed unicità locali.
Sulla retta $u(t)=t$ si ha $u'(t)=0$.
La curva $u=-1-t^2$ è quella che causa la morte delle soluzioni.
Ora se $a<-1$ vuol dire che le soluzioni sono "intrappolate" sotto la parabola.
Nel futuro (cioè per $t\ge0$) la soluzione è crescente, quindi necessariamente dovrà toccare la parabola e quindi morirà (break down)
Nel passato ($t\le0$) dico che le soluzioni non possono mai toccare la parabola, questo perchè essendo crescenti, dovrebbero toccarla con "derivata $+\infty$", cioè le soluzioni dovrebbero toccare la parabola "dall'alto". Detto meglio, bisogna verificare che $v(t)=-1-t^2-\varepsilon$ è sottosoluzione (nel passato le sottosoluzioni stanno sopra la soluzione) per $\varepsilon>0$.
Quindi, per il teorema di alternativa, nel passato le soluzioni o hanno esistenza globale con limite necessariamente $-\infty$, oppure esplodono in tempo finito a -infinito.
Il mio problema ora è quello di vedere SE esistono soluzioni che esplodono o meno.
Ringrazio in anticipo chiunque risponderà
1) Studiare l'esistenza globale nel passato e nel futuro per $a<-1$
Si ha che $u'$ è localmente lipschitziana dove definita, quindi vi sono esistenza ed unicità locali.
Sulla retta $u(t)=t$ si ha $u'(t)=0$.
La curva $u=-1-t^2$ è quella che causa la morte delle soluzioni.
Ora se $a<-1$ vuol dire che le soluzioni sono "intrappolate" sotto la parabola.
Nel futuro (cioè per $t\ge0$) la soluzione è crescente, quindi necessariamente dovrà toccare la parabola e quindi morirà (break down)
Nel passato ($t\le0$) dico che le soluzioni non possono mai toccare la parabola, questo perchè essendo crescenti, dovrebbero toccarla con "derivata $+\infty$", cioè le soluzioni dovrebbero toccare la parabola "dall'alto". Detto meglio, bisogna verificare che $v(t)=-1-t^2-\varepsilon$ è sottosoluzione (nel passato le sottosoluzioni stanno sopra la soluzione) per $\varepsilon>0$.
Quindi, per il teorema di alternativa, nel passato le soluzioni o hanno esistenza globale con limite necessariamente $-\infty$, oppure esplodono in tempo finito a -infinito.
Il mio problema ora è quello di vedere SE esistono soluzioni che esplodono o meno.
Ringrazio in anticipo chiunque risponderà