vorrei postare lo studio di una funzione, e discutere con voi i vari punti.
Preferisco suddividere il post in diversi passaggi, cosi di avere una maggiore chiarezza, avevo pensato cosi:
1. Dominio,simmetria e segno, continuità.
2.Asintoti,derivabilità.
3.Monotonia e convessità.
4.Grafico
Sia
$f(x)=xe^((x)/(1-|x|))$
1.
Dominio
Si è in presenza di un prodotto di due funzioni, ovvero
$g(x)=x$ e $h(x)=e^((x)/(1-|x|))$
$g$ è definita su tutto $mathbb{R}$,
$h$ è una funzione esponenziale, con base $e$, quindi occorre studiare la funzione all'esponente, cioè $(x)/(1-|x|)$, dove quest'ultima ha senso quando $|x| ne 1 leftrightarrow x ne -1 vee x ne 1$.
Ne segue che dall'intersezione dei vari insiemi la funzione $f$ è definita su tutto $mathbb{R}-{-1,1}=X$.
Simmetria e segno
Per verificare che f risulti pari o dispari, occore verificare a priori che l'insieme in cui è definità, risulti simmettrico, cioè
$X$ è simmetrico $to $ $ forall x in X: -x in X$
quindi si deduce che $X$ è simmetrico.
$f(-x)=f(x)$ pari.
$f(-x)=-f(x)$ dispari.
allora
$f(-x)=-xe^((-x)/(1-|-x|))=-xe^((-x)/(1-|x|))=-xe^(-(x)/(1-|x|))=-x(1)/(e^((x)/(1-|x|)))$
dalla verifica risulta essere ne pari e ne dispari.
Segno
$f(x)>0 leftrightarrow xe^((x)/(1-|x|)) x >0 vee e^((x)/(1-|x|))>0$
$x >0$
$e^((x)/(1-|x|))>0 forall x in X$
$forall x in X $, positiva per $x>0$ e negativa per $x le 0$.
Continuità
I punti d'interesse per provare la continuità sono $x_0=-1$ e $x_1=1$, applicando la definizione si ha:
$lim_(x to -1^-)f(x)=lim_(x to -1^-)xe^((x)/(1-|x|))=-1^(-)e^((-1^-)/(1-1^-))=-1^(-)e^(((-1^-)/(0^+)))=0$
$lim_(x to -1^+)f(x)=lim_(x to -1^+)xe^((x)/(1-|x|))=-1^+e^((-1^+)/(1-1^+))=-1^+e^(((-1^+)/(0^-)))=- infty$
ne segue che nel punto $x_1$ la funzione presenta una discontinuità di seconda specie.
$lim_(x to 1^-)f(x)=lim_(x to 1^-)xe^((x)/(1-|x|))=1^(-)e^((1^-)/(1-1^-))=1^(-)e^(((1^-)/(0^+)))=+ infty$
$lim_(x to 1^+)f(x)=lim_(x to 1^+)xe^((x)/(1-|x|))=1^+e^((1^+)/(1-1^+))=1^+e^(((1^+)/(0^-)))=0$
ne segue che nel punto $x_0$ la funzione presenta una discontinuità di seconda specie.
Segue
Ciao