Studio di funzione completo.

Messaggioda galles90 » 10/07/2018, 10:25

Buongiorno,

vorrei postare lo studio di una funzione, e discutere con voi i vari punti.
Preferisco suddividere il post in diversi passaggi, cosi di avere una maggiore chiarezza, avevo pensato cosi:

1. Dominio,simmetria e segno, continuità.
2.Asintoti,derivabilità.
3.Monotonia e convessità.
4.Grafico

Sia
$f(x)=xe^((x)/(1-|x|))$


1.
Dominio
Si è in presenza di un prodotto di due funzioni, ovvero
$g(x)=x$ e $h(x)=e^((x)/(1-|x|))$

$g$ è definita su tutto $mathbb{R}$,
$h$ è una funzione esponenziale, con base $e$, quindi occorre studiare la funzione all'esponente, cioè $(x)/(1-|x|)$, dove quest'ultima ha senso quando $|x| ne 1 leftrightarrow x ne -1 vee x ne 1$.
Ne segue che dall'intersezione dei vari insiemi la funzione $f$ è definita su tutto $mathbb{R}-{-1,1}=X$.

Simmetria e segno
Per verificare che f risulti pari o dispari, occore verificare a priori che l'insieme in cui è definità, risulti simmettrico, cioè
$X$ è simmetrico $to $ $ forall x in X: -x in X$
quindi si deduce che $X$ è simmetrico.
$f(-x)=f(x)$ pari.
$f(-x)=-f(x)$ dispari.
allora
$f(-x)=-xe^((-x)/(1-|-x|))=-xe^((-x)/(1-|x|))=-xe^(-(x)/(1-|x|))=-x(1)/(e^((x)/(1-|x|)))$

dalla verifica risulta essere ne pari e ne dispari.
Segno
$f(x)>0 leftrightarrow xe^((x)/(1-|x|)) x >0 vee e^((x)/(1-|x|))>0$
$x >0$
$e^((x)/(1-|x|))>0 forall x in X$

$forall x in X $, positiva per $x>0$ e negativa per $x le 0$.

Continuità
I punti d'interesse per provare la continuità sono $x_0=-1$ e $x_1=1$, applicando la definizione si ha:

$lim_(x to -1^-)f(x)=lim_(x to -1^-)xe^((x)/(1-|x|))=-1^(-)e^((-1^-)/(1-1^-))=-1^(-)e^(((-1^-)/(0^+)))=0$
$lim_(x to -1^+)f(x)=lim_(x to -1^+)xe^((x)/(1-|x|))=-1^+e^((-1^+)/(1-1^+))=-1^+e^(((-1^+)/(0^-)))=- infty$
ne segue che nel punto $x_1$ la funzione presenta una discontinuità di seconda specie.

$lim_(x to 1^-)f(x)=lim_(x to 1^-)xe^((x)/(1-|x|))=1^(-)e^((1^-)/(1-1^-))=1^(-)e^(((1^-)/(0^+)))=+ infty$
$lim_(x to 1^+)f(x)=lim_(x to 1^+)xe^((x)/(1-|x|))=1^+e^((1^+)/(1-1^+))=1^+e^(((1^+)/(0^-)))=0$
ne segue che nel punto $x_0$ la funzione presenta una discontinuità di seconda specie.

Segue

Ciao :-)
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Re: Studio di funzione completo.

Messaggioda galles90 » 10/07/2018, 14:40

Nessun confronto, aiuto ! :D
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Re: Studio di funzione completo.

Messaggioda otta96 » 11/07/2018, 13:33

galles90 ha scritto:$forall x in X $, positiva per $x>0$ e negativa per $x le 0$.

Tecnicamente è negativa per $x<0$, per $x=0$ è nulla.

Continuità
I punti d'interesse per provare la continuità sono $x_0=-1$ e $x_1=1$,

Non è vero perché in quei punti non è definita, quindi non ha senso chiedersi se è continua in quei punti.
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Re: Studio di funzione completo.

Messaggioda galles90 » 12/07/2018, 09:04

Grazie otta96 per la risposta,

2. Asintoti e derivabilità

Asintoti

$lim_(x to - infty)f(x)=lim_(x to - infty)xe^((x)/(1-|x|))=lim_(x to - infty)xe^((x)/(1+x))=- infty*e=-infty$
$lim_(x to + infty)f(x)=lim_(x to + infty)xe^((x)/(1-|x|))=lim_(x to - infty)xe^((x)/(1-x))=+ infty*(1/e)=+infty$
non sono presenti asintoti orizzontali ne destri e ne sinistri.

$lim_(x to - infty)f(x)/x=lim_(x to - infty)(xe^((x)/(1-|x|)))/(x)=lim_(x to - infty)e^((x)/(1+x))=e$
$ to $ $lim_(x to - infty)f(x)-ex=lim_(x to - infty)xe^((x)/(1-|x|))-ex$
in particolare $f(x)-ex=xe^((x)/(1+x))-ex=ln(xe^((x)/(1-|x|)))-ln(ex)=lnx+ln(e^((x)/(1-|x|)))-lne-lnx=(x)/(1-|x|)-1$
allora $lim_(x to - infty)f(x)-ex=lim_(x to -infty)(x)/(1-|x|)-1=lim_(x to -infty)=(x)/(1+x)-1=0$
non è presente asintoto obliquo a sinistra.
Invece
$lim_(x to + infty)f(x)/x=lim_(x to + infty)(xe^((x)/(1-x)))/(x)=lim_(x to + infty)e^((x)/(1-x))=1/e$
$ to $ $lim_(x to + infty)f(x)-x/e=lim_(x to + infty)xe^((x)/(1-x))-x/e$

in particolare $f(x)-x/e=xe^((x)/(1-x))-x/e=ln(xe^((x)/(1-x)))-ln(x/e)=lnx+lne^((x)/(1-x))-(ln(x/e))=lnx+lne^((x)/(1-x))-(ln(x)-ln(e))=lnx+lne^((x)/(1-x))-ln(x)+ln(e)=(x)/(1-x)+1$
allora $lim_(x to + infty)=f(x)-x/e=lim_(x to + infty)(x)/(1-x)+1=0$
non è presente asintoto abliquo a destra.

Invece per gli asintoti verticali, posso sfruttare quelli che ho già calcolato per la presunta continuità.

Derivabilità

Risulta derivabile nel suo dominio.
Ultima modifica di galles90 il 13/07/2018, 06:46, modificato 1 volta in totale.
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Re: Studio di funzione completo.

Messaggioda otta96 » 12/07/2018, 20:48

galles90 ha scritto:Grazie otta96 per la risposta,

3. Asintoti e derivabilità

Ma non doveva essere il punto 2? :-D

Asintoti

$lim_(x to - infty)f(x)=lim_(x to - infty)xe^((x)/(1-|x|))=lim_(x to - infty)xe^((x)/(1+x))=- infty*e=-infty$
$lim_(x to + infty)f(x)=lim_(x to + infty)xe^((x)/(1-|x|))=lim_(x to - infty)xe^((x)/(1-x))=+ infty*(1/e)=+infty$
non sono presenti asintoti orizzontali ne destri e ne sinistri.

Giusto.

$lim_(x to - infty)f(x)/x=lim_(x to - infty)(xe^((x)/(1-|x|)))/(x)=lim_(x to - infty)e^((x)/(1+x))=e$
$ to $ $lim_(x to - infty)f(x)-ex=lim_(x to - infty)xe^((x)/(1-|x|))-ex$
in particolare $f(x)-ex=xe^((x)/(1+x))-ex=ln(xe^((x)/(1-|x|)))-ln(ex)$

COOOOOOOOOSAAA?!?!? Da dove sbucano fuori questi logaritmi???

allora $lim_(x to - infty)f(x)-ex=0$
non è presente asintoto obliquo a sinistra.

Se il calcolo di prima fosse giusto, da questo limite deduceresti che esiste l'asintoto, e sarebbe $y=ex$.

$f(x)-x/e=xe^((x)/(1-x))-x/e=ln(xe^((x)/(1-x)))-ln(x/e)$

Come sopra.

allora $lim_(x to + infty)=f(x)-x/e=0$
non è presente asintoto abliquo a destra.

Anche questo come sopra (stavolta l'asintoto sarebbe $y=x/e$).

Invece per gli asintoti verticali, posso sfruttare quelli che ho già calcolato per la presunta continuità.

Io li ricontrollerei fossi in te (specialmente quello a $-1$).

Derivabilità

Risulta derivabile nel suo dominio.

Anche in $0$?
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Re: Studio di funzione completo.

Messaggioda galles90 » 13/07/2018, 14:39

Ciao,

il punto l'ho cambiato :), invece per quanto riguarda l'errore, è dalla seria $f(x) ne ln(f(x))$ ?
Mi farebbe piacere discuterne di questa relazione :wink: :wink: sempre se è possibile in questo topic.

Invece per l'errore, ho pensato cosi (sempre se è corretto)

$lim_(x to - infty)xe^((x)/(1+x))-ex=lim_(x to - infty)e^((x)/(1+x))(x-xe^(1-(x)/(1+x)))$
per il teorema sul limite del prodotto, ottengo
$lim_(x to - infty)e^((x)/(1+x))lim_(x to -infty)(x-xe^(1-(x)/(1+x)))=elim_(x to -infty)(x-xe^(1-(x)/(1+x)))$
posto:
$t=1-(x)/(1+x)$ allora $ x=(1-t)/(t)$

per cui
$x to - infty$ $t to 0$ .

Quindi
$lim_(x to -infty)(x-xe^(1-(x)/(1+x)))=lim_(t to 0)((1-t)/(t)-(1-t)/(t)e^t)=lim_(t to 0)((1-t)/(t))(1-e^t)=lim_(t to 0)((1-t)/(t))(e^t-1))=lim_(t to 0)(1-t)(e^t-1)/(t)=-lim_(t to 0)(1-t)=-1$

Infine ottengo

$lim_(x to - infty)xe^((x)/(1+x))-ex=e*(-1)=-e$

Quindi esiste un asintoto obliquo di equzuazione $y=ex-e$.

Invece per $x to + infty$ l'ho svolto in modo molto simile, ottenendo un asintoto obliquo di equazione $y=x/e-(1/e)=1/e(x-1)$

Poi per $x=-1$, si ha
$lim_(x to -1^-)xe^((x)/(1-|x|))=lim_(x to -1^-)xe^((x)/(1+x))=(-1^-)(e^((-1^-)/(1-1^-)))=(-1^-)e^(infty)=(-1^-)*+infty=-infty$
$lim_(x to -1^+)xe^((x)/(1-|x|))=lim_(x to -1^+)xe^((x)/(1+x))=(-1^+)(e^((-1^+)/(1-1^+)))=(-1^+)e^(-infty)=(-1^+)*0=0$
ne segue che nel punto $x=-1$ si ha un asintoto sinistro basso.

Poi per $x=1$, si ha
$lim_(x to 1^-)xe^((x)/(1-|x|))=lim_(x to 1^-)xe^((x)/(1-x))=(1^-)(e^((1^-)/(1-1^-)))=(1^-)e^(-infty)=(1^-)*0=0$
$lim_(x to 1^+)xe^((x)/(1-|x|))=lim_(x to 1^+)xe^((x)/(1-x))=(1^+)(e^((1^+)/(1-1^+)))=(1^+)e^(+infty)=(1^+)+infty=+infty$
ne segue che nel punto $x=1$ si ha un asintoto destro alto.

Per la derivabilità invece, procedo cosi
come detto $f(x)=g(x)*h(x)$
quindi per il teorema della derivata del prodotto si ha:
$g(x)=x$ risulta derivabile in tutto $mathbb{R}$
$h(x)=e^((x)/(1-|x|))$ risulta derivabile nel suo domino tranne che nel punto $x=0$.
Ne segue che per il teorema sulla derivata del prodotto risulta derivabile nel suo domino tranne che nel $x=0$, ma per quest'ultimo non possiamo dire nulla a rifuarda, ma per capire il comportamento nel punto $x=0$ dobbiamo applicare la definizione di derivata, cioè:
$lim_(x to 0)(f(x)-f(0))/(x)=lim_(x to 0)(f(x)-f(0))/(x)=lim_(x to 0)(xe^((x)/(1-|x|)))/(x)=lim_(x to 0)e^((x)/(1-|x|))$.
$lim_(x to 0^+)e^((x)/(1-x))=e^((0^+)/(1-0^+))e^(0^+)=1$
$lim_(x to 0^-)e^((x)/(1+x))=e^((0^+)/(1-0^-))e^(0^+)=1$

Ciao otta96 :-)
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Re: Studio di funzione completo.

Messaggioda otta96 » 16/07/2018, 21:44

galles90 ha scritto:Ciao,

il punto l'ho cambiato :), invece per quanto riguarda l'errore, è dalla seria $f(x) ne ln(f(x))$ ?
Mi farebbe piacere discuterne di questa relazione :wink: :wink: sempre se è possibile in questo topic.

Cosa c'è da discutere? Semplicemente il logaritmo è una funzione diversa dall'identità (inoltre non ha proprio punti fissi).

Invece per l'errore, ho pensato cosi (sempre se è corretto)

$lim_(x to - infty)xe^((x)/(1+x))-ex=lim_(x to - infty)e^((x)/(1+x))(x-xe^(1-(x)/(1+x)))$
per il teorema sul limite del prodotto, ottengo
$lim_(x to - infty)e^((x)/(1+x))lim_(x to -infty)(x-xe^(1-(x)/(1+x)))=elim_(x to -infty)(x-xe^(1-(x)/(1+x)))$
posto:
$t=1-(x)/(1+x)$ allora $ x=(1-t)/(t)$

per cui
$x to - infty$ $t to 0$ .

Quindi
$lim_(x to -infty)(x-xe^(1-(x)/(1+x)))=lim_(t to 0)((1-t)/(t)-(1-t)/(t)e^t)=lim_(t to 0)((1-t)/(t))(1-e^t)=lim_(t to 0)((1-t)/(t))(e^t-1))=lim_(t to 0)(1-t)(e^t-1)/(t)=-lim_(t to 0)(1-t)=-1$

Infine ottengo

$lim_(x to - infty)xe^((x)/(1+x))-ex=e*(-1)=-e$

Quindi esiste un asintoto obliquo di equzuazione $y=ex-e$.

Ora va bene.


Invece per $x to + infty$ l'ho svolto in modo molto simile, ottenendo un asintoto obliquo di equazione $y=x/e-(1/e)=1/e(x-1)$

Immagino vada bene anche questo.

Poi per $x=-1$, si ha
$lim_(x to -1^-)xe^((x)/(1-|x|))=lim_(x to -1^-)xe^((x)/(1+x))=(-1^-)(e^((-1^-)/(1-1^-)))=(-1^-)e^(infty)=(-1^-)*+infty=-infty$
$lim_(x to -1^+)xe^((x)/(1-|x|))=lim_(x to -1^+)xe^((x)/(1+x))=(-1^+)(e^((-1^+)/(1-1^+)))=(-1^+)e^(-infty)=(-1^+)*0=0$
ne segue che nel punto $x=-1$ si ha un asintoto sinistro basso.

Poi per $x=1$, si ha
$lim_(x to 1^-)xe^((x)/(1-|x|))=lim_(x to 1^-)xe^((x)/(1-x))=(1^-)(e^((1^-)/(1-1^-)))=(1^-)e^(-infty)=(1^-)*0=0$
$lim_(x to 1^+)xe^((x)/(1-|x|))=lim_(x to 1^+)xe^((x)/(1-x))=(1^+)(e^((1^+)/(1-1^+)))=(1^+)e^(+infty)=(1^+)+infty=+infty$
ne segue che nel punto $x=1$ si ha un asintoto destro alto.

Ora il limite a $-1$ va bene, ma quello a $1$ no, lo avevi già fatto bene la scorsa volta.

Per la derivabilità invece, procedo cosi
come detto $f(x)=g(x)*h(x)$
quindi per il teorema della derivata del prodotto si ha:
$g(x)=x$ risulta derivabile in tutto $mathbb{R}$
$h(x)=e^((x)/(1-|x|))$ risulta derivabile nel suo domino tranne che nel punto $x=0$.
Ne segue che per il teorema sulla derivata del prodotto risulta derivabile nel suo domino tranne che nel $x=0$, ma per quest'ultimo non possiamo dire nulla a rifuarda, ma per capire il comportamento nel punto $x=0$ dobbiamo applicare la definizione di derivata, cioè:
$lim_(x to 0)(f(x)-f(0))/(x)=lim_(x to 0)(f(x)-f(0))/(x)=lim_(x to 0)(xe^((x)/(1-|x|)))/(x)=lim_(x to 0)e^((x)/(1-|x|))$.
$lim_(x to 0^+)e^((x)/(1-x))=e^((0^+)/(1-0^+))e^(0^+)=1$
$lim_(x to 0^-)e^((x)/(1+x))=e^((0^+)/(1-0^-))e^(0^+)=1$

Ciao otta96 :-)

Questo è perfetto.
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