Campi vettoriali

[anto_zoolander]

Studiando la teoria dei campi vettoriali mi è sorta una domanda abbastanza spontaneamente
Se ho un campo $F:E->RR^n$ con $E$ aperto connesso di $RR^n$ e $x inE$ è possibile trovare una curva $phi:I->E$ di classe $C^2$ tale che $F(phi(t))=kphi’’(t)$ con $k$ costante e tale che $phi(0)=x$?

Ovviamente $a(t)=phi’’(t)$

Ultima modifica di anto_zoolander il 11/07/2018, 16:58, modificato 1 volta in totale.

mi è sorta una domanda abbastanza spontaneamente

Come?

Se ho un campo $F:E->RR$ con $E$ aperto connesso di $RR^n$ e $x inE$ è possibile trovare una curva $phi:I->E$ di classe $C^2$ tale che $F(phi(t))=kphi’’(t)$ con $k$ costante e tale che $phi(0)=x$?

Se $\phi$ è una curva in $RR^n$, anche $\phi''$ lo sarà, e quindi non è possibile l'uguaglianza che chiedi perchè da una parte hai un numero e dall'altra un vettore.

L’idea è quella di trovare una curva la cui accelerazione segue il campo vettoriale su tutta la traiettoria

Sbagliai scusa era $F:E->RR^n$ infatti intendevo campo vettoriale, modifico.

Me lo immaginavo, ma quindi $k$ è libero di variare?

$k$ è una costante arbitraria(magari non nulla), ma penso che il problema sia tutt’altro che facile considerando che se fissiamo un riferimento con cui rappresentiamo

$F(x)=sum_(k=1)^(n)f_k(x)e_k$ e $phi(t)=sum_(k=1)^(n)phi_k(t)e_k$

Il problema si riduce nella risoluzione di $n$ equazioni differenziali su $RR$ di questo tipo

$f_k(phi(t))=phi’’_k(t)$ per ogni $k=1,...,n$

Quindi le cose andranno viste caso per caso, o in casi particolari, ma non penso ci siano soluzioni generali

Quello che dici mi sembra giusto, ma mi sembra anche che si possano trovare delle soluzioni usando il teorema di Cauchy per le equazioni differenziali vettoriali.

"In generale" devi risolvere l'equazione differenziale \(F(\varphi)=\ddot \varphi\), cosa non facile; se però $E$ è piccolo abbastanza dovresti sapere che ci sono dei teoremi che garantiscono l'esistenza di una soluzione locale, se $F$ è almeno $C^0$... Certo ce ne saranno che non hanno soluzioni per quadrature: incidentalmente, per mostrare che esistono ODE che non si risolvono per quadrature, l'arma migliore è la teoria di Galois