Serie numerica "difficile"

[zariski]

In realtà la dimostrazione di mse è elementare, ma estremamente tecnica. Sembra scritta da qualcuno con esperienza in quei settori lì (teoria analitica dei numeri e dintorni).

Alla fine l'ho letta, per quanto non chiarissima non mi sembra ci sia nessuno strumento avanzato che uno studente di analisi 1 non dovrebbe conoscere, e' solo appunto come dici tu molto tecnica. Non vedo come ad una matricola possa venire in mente.
Anche per questo ho deciso di riprovare a risolverlo continuando da una strada che avevo abbandonato ieri leggendo la risposta di otta96:

So che ${|\sin(n)|}_{n \in NN}$ e' denso in $(0, 1)$, considero allora una successione crescente ${a_n}_{n \in NN} \sub NN$ tale che $|\sin(a_n)| \to 0$, e questo credo di poterlo tranquillamente fare (grazie a Bolzano-Weierstrass). Vale la seguente diseguaglianza:
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{1+|\sin(n)|}} \ge \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(a_n)^{1+|\sin(a_n)|}}$$
La serie a destra ora ha come termine generale qualcosa che ha lo stesso ordine di grandezza (a ripensarci ora non ne sono piu' tanto convinto, ma oggi pomeriggio ne ero abbastanza sicuro) di $1/a_n$ (con "stesso ordine di grandezza" intendo asintotico a meno di costanti).
Dunque se la successione ${a_n$} che costruisco e' tale che ${\sin(a_n)}$ ha lo stesso ordine di grandezza di ${1/n}$ allora concludo per il criterio del confronto.
Ora, assumendo che il ragionamento fili (a ripensarci ora non ne sono per niente sicuro), secondo voi esiste una tale successione? Come si potrebbe costruire?

Che immagino sia il tuo professore

In realta' non e' lui.

Del resto, le prime tre righe del post in alto sono "illuminanti":

Ti riferisci al posto di otta96 o a qualcosa sul stackexchange?

[Delirium]

[...] Ti riferisci al posto di otta96 o a qualcosa sul stackexchange?

A quelle che ho citato.

Il problema e', appunto, che non sappiamo nulla della "dinamica" di \( |\sin (n) | \) o di quella di \( |\sin(a_n) |\) (e' la parte non banale del problema)...

[zariski]

Stavo rileggendo il mio ultimo messaggio dopo giorni che non pensavo piu' al problema; ma $a_n=2n\pi + 1/n$ non funziona nel mio ragionamento del post precedente?
Sono sicuro di stare sbagliando qualcosa.

[otta96]

Secondo te $2pin+1/n\inNN$?

[zariski]

Ok, cavolata immensa
Ho scritto di fretta un secondo prima di uscire di casa pensando di avere avuto l'illuminazione...

Comunque vista la mancanza di soluzioni semplici o di spiegazioni sul perche' tali soluzioni non possano esistere scriverei al docente, anche se a sto punto temo possa essere o un suo errore o un gigantesco troll.

[Delirium]

[...] Comunque vista la mancanza di soluzioni semplici o di spiegazioni sul perche' tali soluzioni non possano esistere scriverei al docente, anche se a sto punto temo possa essere o un suo errore o un gigantesco troll.

Scrivigli, sono curioso. In realtà potrebbero essere false entrambe le tue ipotesi; problemi difficili e/o senza soluzione stimolano comunque il pensiero dei più curiosi, a qualsiasi "livello didattico". Ricordo ancora quando, al primo semestre del primo anno, ci venne chiesto di dimostrare la compattezza del cubo di Hilbert...

[zariski]

Interessante questo cubo di Hilbert, in effetti non e' un problema banale senza gli strumenti adeguati.

Comunque ho chiesto e ho ottenuto una dimostrazione, non l'ho guardata troppo a causa di un esame imminente ma gia' non mi tornano alcune cose (tipo la prima diseguaglianza). Vi riporto la dimostrazione:

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Prop. La serie $\sum \frac{1}{n^{1+ |\sin(n)|}}$ diverge
Dim. Chiamiamo $$A_n = \frac{1}{n^{1+ |\sin(n)|}}$$
Sia $\epsilon \gt 0$ fissato (piccolo), per ogni $n$ vale (per il principio della piccionaia) $$|q_n 2 \pi - (n + k_n)| \lt \epsilon$$
dove $q_n$ e' intero e $k_n$ soddisfa $$k_n \le [2 \pi / \epsilon] + 1 =: M$$
Dunque, per ogni $n$ fissato vale $$|\sin(n + k_n)| \le \epsilon$$
che implica $$A_{n+k_n} \ge \frac{1}{(n+k_n)^{1+\epsilon}} \ge \frac{1}{(n+M)^{1+\epsilon}}$$
Sia ora $$S_M = \sum_{n=M}^{\infty}A_n$$
Notiamo che per ogni intero $j \ge 1$ $$\sum_{n=jM}^{(j+1)M} A_n \ge A_{jM+k_{jM}} \ge \frac{1}{M^{1+\epsilon}(j+1)^{1+\epsilon}}$$
Dunque $$S_M \ge \frac{1}{M^{1+\epsilon}} \sum_{j=2}^{\infty}\frac{1}{j^{1+\epsilon}} \ge \frac{1}{M^{1+\epsilon}\epsilon 2^{\epsilon}} \to \frac{1}{2 \pi}$$
quando $\epsilon \to 0$ (ovvero $M \to \infty$).
Quindi $S_M$ non tende a $0$ per $M \to \infty$, il che implica la divergenza della serie.

Che dire? Non mi sembra particolarmente semplice e onestamente credo mi ci vorrebbe un bel po' tempo (che non ho) per capire bene i vari passaggi.
Inoltre non sono nemmeno sicuro di capire bene cosa c'e' scritto, per esempio dove c'e' scritta la diseguaglianza che deve rispettare $k_n$ credo che con quelle parentesi quadre intenda la parte intera, ma non ne sono sicurissimo.