PROPOSIZIONE Siano $K,H⊂\RR^2$ due compatti connessi tale che $∂K$ e $∂H$ abbiano misura nulla e siano $σ:K→\RR^3$ e $τ:H→\RR^3$ due parametrizzazioni continue equivalenti di una superficie regolare $Σ$. Se $σ(u_0,v_0 )=τ(u_1,v_1 )$ allora$〈σ_u (u_0,v_0 ),σ_v (u_0,v_0 )〉=〈τ_u (u_0,v_0 ),τ_v (u_0,v_0 )〉$
Riporto alcune definizioni che magari possono servire:
DEFINIZIONE Un sottoinsieme $Σ⊂\RR^3$ si dice superficie se esistono un compatto connesso $K$ tale che $∂K$ abbia misura nulla e una funzione continua $σ:K→\RR^3$, detta parametrizzazione di $Σ$, tale che $Σ=σ(K)$.
DEFINIZIONE Sia $Σ⊂\RR^3$ una superficie e sia $σ:K→Σ$ una sua parametrizzazione. Si dice che la superficie $Σ$ è regolare se valgono le seguenti condizioni
$σ$ è iniettiva su $K-∂K$
$σ$ è di classe $C^1$ su un aperto contenente $K$
$rg(J_σ (u,v))=2 ∀(u,v)∈K$
DEFINIZIONE Siano $K,H⊂\RR^2$ due compatti connessi tale che $∂K$ e $∂H$ abbiano misura nulla. Due parametrizzazioni continue $σ_1:K→\RR^3$ e $σ_2:H→\RR^3$ di una superficie $Σ$ si dicono equivalenti se esiste una funzione $φ:H→K$ di classe $C^1$ tale che $φ:H-∂H→K-∂K$ è biettiva con inversa di classe $C^1$ e $σ_2 (u,v)=σ_1 (φ(u,v))$
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DIMOSTRAZIONE Sia $P=σ(u_0,v_0 )$ ove $\inK-∂K$, sappiamo che esiste $(w,z)\inH-∂H$ tale che $(u_0,v_0 )=φ(w,z)$. Perciò $P=σ(u_0,v_0 )=σ(φ(w,z))=τ(w,z)$. Ma allora
$(∂τ)/(∂u) (u_0,v_0)=∂/(∂u) (σ(φ(w,z)))=((∂σ_1)/(∂u) (φ(w,z)),(∂σ_2)/(∂u) (φ(w,z)),(∂σ_3)/(∂u) (φ(w,z)))=\sum_{i=1}^2( (∂σ_1)/(∂φ_i ) (φ(w,z)) (∂φ_i)/(∂u) (w,z) ,(∂σ_2)/(∂φ_i ) (φ(w,z)) (∂φ_i)/(∂u) (w,z),(∂σ_3)/(∂φ_i ) (φ(w,z)) (∂φ_i)/(∂u) (w,z) )$
E adesso, come faccio a continuare?
... Se arrivo al risultato e non me ne rendo conto vuol dire che c'è qualcosa che non va...